Reszta dzielenia

[Frizze]

Oblicz resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian u, nie wykonując dzielenia.
\(\displaystyle{ w\left(x\right) = x^{5} - x^{3} + x^{2} - 1}\) , \(\displaystyle{ u\left(x\right) = \left(x - 1\right)\left(x + 1 \right)\left(x + 2\right)}\)

[TheBill]

Zauważ, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\), więc dzieli sie bez reszty przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) i przez \(\displaystyle{ (x+1)}\). Sprawdź ile zostanie reszty dla \(\displaystyle{ x=-2}\)

[Frizze]

Dla x = -2 Reszta wynosi -21.W odpowiedzi wychodzi \(\displaystyle{ -7x^{2} +7}\). Podstawiając to wszystko do wyrażenie ax + b wychodzi mi, że a = 7 i dalej nie wiem co zrobić.

[Afish]

Reszta z dzielenia będzie miała postać
\(\displaystyle{ ax ^{2} + bx + c}\)
Podstawiamy za x kolejno 1, -1 i -2, a następnie spisujemy reszty:
\(\displaystyle{ a +b + c = 0\\
a -b + c = 0\\
4a -2b + c = 21}\)
Odpowiednio dodajemy i odejmujemy stronami, żeby szybciutko wyliczyć układ.