Równania i nierówności

Peter100 · Post autor: **Peter100** » 27 sie 2006, o 19:42

Witam
Nie wiem zabardzo jak powinienem właściwie rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe. Prosiłbym o pokazanie chociaż co powinienem po kolei robić.

a)\(\displaystyle{ (x^2-2x)^2-1=0}\)
b)\(\displaystyle{ x^3-x^2=-5-3x}\)
c)\(\displaystyle{ x^4-4x^3-5x^2+36x-36>0}\)
d)\(\displaystyle{ -2(x+1)(x^2+5x+6)(x^2-1)\leq0}\)
e)\(\displaystyle{ x^3-5x^2+15-3x\geq0}\)

Każda pomoc będzie mile widziana i nagrodzona

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 27 sie 2006, o 20:03

a) Skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów - wyjdzie iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych, dla których wystarczy znaleźć miejsca zerowe:
\(\displaystyle{ (x^{2}-2x)^{2}-1=0\\(x^{2}-2x-1)\cdot(x^{2}-2x+1)=0\\x^{2}-2x-1=0\,\vee\,x^{2}-2x+1=0}\)

b) Przenieś wszystko na lewą stronę (żeby otrzymać postać \(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}+3x+5=0}\)). Teraz trzeba znaleźć (czytaj: domyślić się, "strzelać" lub skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych) co najmniej jeden pierwiastek (pierwiastek czyli miejsce zerowe) - niech tym pierwiastkiem będzie \(\displaystyle{ a}\), wyłączyć \(\displaystyle{ (x-a)}\) przed nawias i znaleźć jeszcze pierwiastki trójmianu kwadratowego który zostanie.

c) Tu trzeba pogrupować i zrobić z tego iloczyn wielomianów stopnia pierwszego (lub drugiego ale bez pierwiastków rzeczywistych - czyli z ujemną deltą) i rozwiązać sobie najlepiej posiłkując się osią liczbową i badając znak poszczególnych czynników (czyli wielomianów w nawiasach) w każdym przedziale (końce przedziałów są wyznaczone przez znalezione pierwiastki)

d) i e) - analogicznie jak c) tylko w d) masz już prawie pogrupowane - trzeba jeszcze rozbić ten trójmian kwadratowy

gaga · Post autor: **gaga** » 27 sie 2006, o 21:02

Oczywiście w c) i e) też można stosować metodę szukania pierwiastków,przez dzielniki wyrazu wolnego,jednak tak,jak napisał to Dexiu,lepiej zrobić to metoda grupowania,bo jest ona tu widoczna

Peter100 · Post autor: **Peter100** » 27 sie 2006, o 23:41

No dziękuję za azinteresowanie, chociaż dalej nie rozumiem

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 28 sie 2006, o 00:44

w takim razie tak:
a) DEXiu rozpisał to całkowicie
b) \(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}+3x+5=0}\) rozpisz sobie jako \(\displaystyle{ x^{3}-x^{2}-2x+5x+5=0}\) i wychodzi prosto \(\displaystyle{ (x^{2}-2x+5)(x+1)=0}\)
c) tu chyba jest jakiś błąd bo przecież wychodzi \(\displaystyle{ x^{2}(x+1)(x-5)+36(x-1)>0}\), czego pogrupowac się nie da :/
d)

DEXiu pisze:trzeba jeszcze rozbić ten trójmian kwadratowy

e) \(\displaystyle{ x(x^{2}-3)-5(x^{2}-3)\geq 0}\) i \(\displaystyle{ (x-5)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\geq 0}\)

mam nadzieję, że już wszystko jest jasne