Rozkład/dzielenie wielomianów

[tomazoo28]

Przedstawić podane wyrażenie w najprostszej postaci iloczynowej: \(\displaystyle{ \frac{x^8 + x^4 + 1}{x^2 + x + 1}}\)

Zwykłe dzielenie chyba nic tu nie daje bo zostaje reszta. Jak sobie z tym poradzić?

[mikrobart]

Ale zaraz, przecież można to podzielić bez reszty, licznik przyjmie postać:

\(\displaystyle{ (x^6-x^5+x^3-x+1)(x^2+x+1)}\)

[kajus]

można, w liczniku mamy:
\(\displaystyle{ x^{8}+x^{4}+1=x^{8}+2x^{4}+1-x^{4}=(x^{4}+1)^{2}-x^{4}=\\ \\
(x^{4}+1-x^{2})(x^{4}+1+x^{2})=(x^{4}-x^{2}+1)(x^{4}+x^{2}+1)= \\ \\
(x^{4}+2x^{2}+1-3x^{2})(x^{4}+2x^{2}+1-x^{2})=\\ \\
( (x^{2}+1)^{2}-3x^{2} )\cdot ( (x^{2}+1)^{2}-x^{2} ) \\ \\
(x^{2}+1-x\sqrt3)(x^{2}+1+x\sqrt3)(x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)=\\ \\
(x^{2}-x\sqrt3+1)(x^{2}+x\sqrt3+1)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)\\ \\}\)

ten ostatni czynnik skrócisz z mianownikiem i masz postać czynników

[tomazoo28]

o dzięki, Kajus, o to chodziło