znajdź wielomian z zastosowaniem metody użytej w przykładzie

[honey91]

znajdziemy wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5} - \sqrt{3}}\)

^niech \(\displaystyle{ a = \sqrt{5} - \sqrt{3}}\) . zatem \(\displaystyle{ a^{2} = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) ^{2}}\) , a stąd \(\displaystyle{ a^{2} = 8 - 2\sqrt{15}}\) , czyli \(\displaystyle{ a^{2} - 8 = - 2\sqrt{15}}\)

^jeżeli \(\displaystyle{ a^{2} - 8 = - 2\sqrt{15}}\), to \(\displaystyle{ (a^{2} - 8) ^{2} = (- 2\sqrt{15})^{2}}\) . po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy równość \(\displaystyle{ a^{4} - 16a^{2} + 64 = 60}\) a ostatecznie \(\displaystyle{ a^{4} - 16a^{2} + 4 = 0}\)

^pokazaliśmy, że jeśli \(\displaystyle{ a = \sqrt{5} - \sqrt{3}}\), to \(\displaystyle{ a^{4} - 16a^{2} + 4 = 0}\). zatem liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5} - \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = a^{4} - 16a^{2} + 4}\)

w analogiczny sposób znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}\)

[BettyBoo]

Podpowiedź: \(\displaystyle{ a+1=\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)

Pozdrawiam.

[honey91]

tak, właśnie też jednak udało mi się na to wpaść i faktycznie wyszło