Wielomiany z parametrami

Peter100 · Post autor: **Peter100** » 27 sie 2006, o 02:00

Witam
Mam takie zadanka:
1)
Wyznacz wartości parametrów a,b,c tak aby wielomiany
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-(a+b)x^2+3}\) oraz \(\displaystyle{ P(x)=x^3+(2a-3b)x^2+(a+2)x+(b+c)}\)
były równe

2)
Dla jakich wartości parametrów a i b liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-5x^2+ax+b}\) ?

Jak się do tych zadań zabrać ?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 27 sie 2006, o 02:20

1) Zauważ, że aby te wielomiany były równe, współczynniki przy odpowiednich potęgach iksa muszą być równe. Z tego warunku powstaje układ 3 równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array} -(a+b)=2a-3b \\ a+2=0 \\ 3=b+c \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array} a=-2 \\ b=-3 \\ c=6 \end{array}}\)

Peter100 · Post autor: **Peter100** » 27 sie 2006, o 02:27

Rany, ale ze mnie jełop zapomniałem o tym a+2=0. Dziękuję ślicznie za szybką odpowiedź
A wiesz może jak z drugim zadankiem ?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 27 sie 2006, o 02:38

Skoro liczba 3 jest podwójnym pierwiastkiem tego wielomianu, możemy go zapisać w postaci \(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^2(x-r)}\), gdzie \(\displaystyle{ r 3}\). Wymnażając otrzymujemy, że \(\displaystyle{ W(x)=x^3 -(r+6)x^2+(6r+9)x-9r}\) z czego wynikają następujące równości: \(\displaystyle{ 5=r+6 a=6r+9 b=-9}\). A zatem otrzymujemy, że \(\displaystyle{ r=-1, a=3, b=9}\). Istotnie \(\displaystyle{ W(x)=x^3 -5x^2 +3x+9=(x-3)^2 (x+1)}\).

Peter100 · Post autor: **Peter100** » 27 sie 2006, o 03:03

Wspaniale, dziękuję bardzo !
I tak jeszcze zapytam, gdyby to był pierwisatek trzykrotny to by to wyglądało \(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^3(x-r)}\) ?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 27 sie 2006, o 03:12

Nie. Zauważ, że wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) ma co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków. Więc gdyby liczba 3 w podanym przykładzie, gdzie mamy wielomian trzeciego stopnia, miałaby być pierwiastkiem potrójnym, to wielomian musiałby mieć postać \(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^3}\).

Peter100 · Post autor: **Peter100** » 27 sie 2006, o 03:20

Czyli jakby treść zadania brzmiała:
Dla jakich wartości parametrów a i b liczba 3 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3-5x^2+ax+b}\) to jakby musiało wyglądać rozwiązanie ?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 27 sie 2006, o 03:31

Z warunku w zadaniu wynika, że wielomian ten musiałby mieć postać \(\displaystyle{ W(x)=(x-3)^3=x^3-9x^2+27x-27}\), czyli musiałyby zachodzić równości: \(\displaystyle{ -9=-5, 27=a, -27=b}\). Widzimy, że pierwsze równanie jest sprzeczne, więc nie jest to równość, z czego wynika, że liczba 3 nie może być potrójnym pierwiastkiem danego wielomianu.

Peter100 · Post autor: **Peter100** » 27 sie 2006, o 03:39

Ok, już rozumiem
Dzięki jeszcze raz !