pierwiastek trzykrotny, parametr

totr · Post autor: **totr** » 25 sie 2006, o 20:24

Dla jakich wartości parametru m wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+10x+m}\) ma pierwiastek trzykrotny?

liu · Post autor: **liu** » 26 sie 2006, o 00:40

Zauwaz, ze wielomian czwartego stopnia posiadajacy pierwiastek trzykrotny musi miec nastepujaca postac iloczynowa:
\(\displaystyle{ W(x) = 2(x-a)^3(x-b)}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\).

Teraz musisz niestety poswiecic sie i rozwinac to do postaci \(\displaystyle{ \alpha x^4 + \beta x^3 + \gamma x^2 + \delta x + \epsilon}\). Dwa wielomiany tego samego stopnia sa rowne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) maja jednakowe wspolczynniki przy tych samych potegach, wiec przyrownujac wspolczynniki z tego co wymnozyles do tego co masz dane w zadaniu dostaniesz uklad rownan do rozwiazania. Niewiadomych bedzie pewnie mniej niz rownan, wiec pamietaj, zeby sprawdzic, czy otrzymane rozwiazania pasuja do wszystkich rownan (uklad moze wyjsc sprzeczny).

Tristan · Post autor: **Tristan** » 26 sie 2006, o 01:13

Dodam tylko, że obliczenia nie są takie straszne, a wynik przyjemny: \(\displaystyle{ W(x)=2(x-1)^3 (x+2), m=-4}\).