dowód, pierwiastki całkowite równania

totr · Post autor: **totr** » 23 sie 2006, o 15:58

Jako że to mój pierwszy post, wypadało by się przywitać więc: witam brać matematyczną.

Tyle od siebie. Przejdźmy do rzeczy.

Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2006^{3}}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

sam zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ \sqr[3]{x(x+1)(x+2)}=2*17*59 \sqr[3]{x}=2 \sqr[3]{x+1}=17 \sqr[3]{x+2}=59}\) co jest sprzeczne

czy jest jakiś prostszy sposób na rozwiązanie tego zadania? a dokładniej: taki, w którym można pominąć rozkładanie 2006 na czynniki pierwsze?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 23 sie 2006, o 16:07

Mamy trzy kolejne liczby całkowite: x, x+1,x+2 - więc jedna musi być podzielna przez 3, więc cały iloczyn musi być podzielny przez trzy. Skoro 2006 nie jest podzielne przez 3, to i trzecia potęga liczby 2006 nie jest podzielna przez 3 z czego wynika, że to równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

mirek · Post autor: **mirek** » 23 sie 2006, o 16:07

W twoim rozwiązaniu coś mi nie gra, a mianowicie to nieszczęsne pierwiastkowanie(iloczyn pierwiastków może być całkowity)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 23 sie 2006, o 19:13

Mozna takze rozłozyc na czynniki i sie bawić, ale sposób Tristana jest najlepszy, wg mnie....