Równanie wielomianowe ma 0,1,2,3 rozwiązania, parametr

[fivi91]

Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ x ^{4}+(1-2a)x ^{2}+a ^{2}-1=0}\):
a) nie ma rozwiązania,
b) ma dokładnie jedno rozwiązanie
c) ma dokładnie dwa rozwiązania
d) ma dokładnie trzy rozwiązania

Teraz prosze o pomoc, czy dobrze myśle:
jest to funkcja parzysta, dlatego:
a) nie ma rozwiązania gdy \(\displaystyle{ \Delta<0}\) po wprowadzenia oznaczeń \(\displaystyle{ x ^{2}=t, t \ge 0}\)
b) ma jedno rozwiązanie x=0
c) ma dwa rozwiązania dla \(\displaystyle{ \Delta=0}\) po wprowadzenia oznaczeń \(\displaystyle{ x ^{2}=t, t>0}\)
d) ma trzy rozwiązania... no właśnie powinno być to zestawienie np. -3,0,3 lub np. -5,0,5 z liczbami przeciwnymi i zerem. Ale nie bardzo wiem, jak to zapisać?

Prosze o skorygowanie mnie, jeśli powyższe sposoby są złe (i pomoc w d), oraz może ktoś zna inny sposób na rozwiązanie tego zadania? Bo teraz zapewne poszczęściło mi się, że trafiłam na funkcję parzystą.

Pozdrawiam

[piasek101]

Zabrakło (chyba wszędzie) tego co dotyczy bezpośrednio równania dwukwadratowego.

Np
a) nie będzie rozwiązań gdy kwadratowe (to po podstawieniu) będzie miało tylko ujemne rozwiązania (nawet dwa)

[klaustrofob]

a co z przypadkiem delta>0, oba pierwiastki równania \(\displaystyle{ t ^{2}+(1-2a)t+a ^{2}-1=0}\) ujemne? oznaczmy to pomocnicze równanie przez 2(t), a badane przez 4(x).

a) 4(x) ma jedno <=> jedynym pierwiastkiem 2(t) jest 0 (jeżeli 2(t) ma jakiś pierwiastek dodatni, to automatycznie 4(x) ma dwa pierwiastki)
b) 4(x) nie ma <=> 2(t) nie ma lub ma dwa ujemne
c) 4(x) ma 2 <=> 2(t) ma tylko jeden dodatni
d) 4(x) ma 4 <=> 2(t) ma....
e) 4(x) ma 3 <=> 2(t) ...

dokończ sama

[fivi91]

Mmm... a wyglądało tak niepozornie

Już rozumiem, dziękuje bardzo -- 1 lut 2010, o 15:27 --Po paru próbach i wynajdywaniu nowych założeń doszłam do:

a) brak rozwiązań
\(\displaystyle{ \Delta<0 \bigvee \Delta >0 \wedge t _{1}t _{2}>0 \wedget _{1}+t _{2}<0}\)
czyli brak miejsc zerowych lub obydwa ujemne (sprzeczność)

b) jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ \Delta=0 \wedge t _{1}t _{2}=0 \bigvee \Delta>0 \wedge t _{1}+t _{2}<0 \wedge t _{1}t _{2}=0}\)
czyli jedno miejsce zerowe którym jest 0, lub dwa rozwiązania z czego jednym jest 0 a drugie jest ujemne (sprzeczność)

c) 2 rozwiązania
\(\displaystyle{ \Delta=0 \wedge t _{1}t _{2}>0 \wedge t _{1}+t _{2}>0 \bigvee \Delta>0 \wedge t _{1}t _{2}<0}\)
czyli jedno rozwiązanie dodatnie, lub dwa rozwiązania z czego jedno jest ujemne (sprzeczność)

d) 3 rozwiązania
\(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge t _{1}t _{2}=0 \wedge t _{1}+t _{2}>0}\)
czyli dwa miejsca zerowe: 0 oraz rozwiązanie dodatnie

Udało mi się ująć wszystkie przypadki?
Wybaczcie że tak was zamęczam tym zadaniem ale wydaje mi sie ono dosyć ważne i chce je załapać do końca