wyznacz wszystkie wielomiany...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
pan_x000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 112
Rejestracja: 31 sty 2010, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

wyznacz wszystkie wielomiany...

Post autor: pan_x000 »

wyznacz wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P_{(x)}}\) takie, że:

dla każdego x: \(\displaystyle{ (x-1)P _{(x+1)} = (x+2)P _{(x)}}\)
marc84
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 28 sty 2010, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Pomógł: 4 razy

wyznacz wszystkie wielomiany...

Post autor: marc84 »

Wielomian \(\displaystyle{ P_{(x)}}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ x=0,x=-1,x=1}\). Załóżmy że\(\displaystyle{ P_{(x)}=x(x-1)(x+1)Q(x)}\). Podstawiając do równania otrzymujemy \(\displaystyle{ P_{(x+1)}=x(x+1)(x+2)Q(x)}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest funkcją stałą.

Odp. \(\displaystyle{ P_{(x)}=ax(x-1)(x+1)}\)
TheBill
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2372
Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 245 razy

wyznacz wszystkie wielomiany...

Post autor: TheBill »

marc84, możesz dokładniej wytłumaczyć swoje rozwiązanie? Skąd wiesz, że te liczby są pierwiastkami?
marc84
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 28 sty 2010, o 23:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Pomógł: 4 razy

wyznacz wszystkie wielomiany...

Post autor: marc84 »

Podstaw x=1, lewa strona jest zerem, więc P(1)=0. podstaw x=-2, po prawej masz 0, stąd P(-2+1)=P(-1)=0. Teraz podstaw x=-1, Ponieważ -1 jest pierwiastkiem prawa strona jest zerem, czyli P(-1+1)=P(0)=0.
ODPOWIEDZ