wyznacz wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P_{(x)}}\) takie, że:
dla każdego x: \(\displaystyle{ (x-1)P _{(x+1)} = (x+2)P _{(x)}}\)
wyznacz wszystkie wielomiany...
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 28 sty 2010, o 23:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Pomógł: 4 razy
wyznacz wszystkie wielomiany...
Wielomian \(\displaystyle{ P_{(x)}}\) ma pierwiastki \(\displaystyle{ x=0,x=-1,x=1}\). Załóżmy że\(\displaystyle{ P_{(x)}=x(x-1)(x+1)Q(x)}\). Podstawiając do równania otrzymujemy \(\displaystyle{ P_{(x+1)}=x(x+1)(x+2)Q(x)}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest funkcją stałą.
Odp. \(\displaystyle{ P_{(x)}=ax(x-1)(x+1)}\)
Odp. \(\displaystyle{ P_{(x)}=ax(x-1)(x+1)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 28 sty 2010, o 23:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Pomógł: 4 razy
wyznacz wszystkie wielomiany...
Podstaw x=1, lewa strona jest zerem, więc P(1)=0. podstaw x=-2, po prawej masz 0, stąd P(-2+1)=P(-1)=0. Teraz podstaw x=-1, Ponieważ -1 jest pierwiastkiem prawa strona jest zerem, czyli P(-1+1)=P(0)=0.