Udowodnij własność wielomianu

[pan_x000]

Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ a_{1}}\), \(\displaystyle{ a_{2} ...a _{n}}\) są różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)-1}\) nie jest iloczynem dwóch wielomianów o współczynnikach stopnia mniejszego od n. (w tym wielomianie to te liczby przy a to indeksy dolne)


Jak to zrobić?

[marc84]

Weź na przykład \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-9)-1=(x-b_1)(x-b_2)}\). Gdzie \(\displaystyle{ b_1=5+ \sqrt{17}}\), \(\displaystyle{ b_2=5- \sqrt{17}}\). No i coś nie działa. Jesteś pewien co do treści?

[xanowron]

Współczynniki mają być całkowite, szło się domyślić.

[marc84]

Ok. Wyraz wolny W(x) to \(\displaystyle{ w_0= a_1a_2...a_n-1}\). Nie jest on podzielny przez żaden z czynników \(\displaystyle{ a_i}\), dla \(\displaystyle{ 1 \leq i \leq n}\), \(\displaystyle{ w_0}\) nie może być on zatem produktem \(\displaystyle{ a_ka_l}\) dla \(\displaystyle{ 1 \leq k,l \leq n}\). Czyli W(x) nie moze byc produktem dwóch wielomianów o współczynnikach \(\displaystyle{ a_i}\).