Reszta z dzielenia przez iloczyn

[fivi91]

Wielomian W przy dzieleniu przez x-1, x-2, x-3 daje odpowiednio reszty 1,2,3. Wyznacz resztę z dzielenia W przez iloczyn (x-1)(x-2)(x-3).

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak się to rozwiązuje?

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\cdot P(x)+ax^2+bx+c}\) - reszta musi mieć stopnień < 3. podstawiasz kolejno x=1, x=2, x=3, korzystasz z tw. Bezouta dla W(x) i otrzymujesz układ równań.

[mateusz_rad]

Najpierw zapisujemy wielomian po podzieleniu przez \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)P(x)+ax ^{2}+bx+c}\)

Następnie z tw. o reszcie /z polecenia zadania/ mamy:
\(\displaystyle{ W(1)=1}\)
\(\displaystyle{ W(2)=2}\)
\(\displaystyle{ W(3)=3}\)

Po podstawieniu to wzoru wielomianu mamy odpowiednio:
\(\displaystyle{ a+b+c=1}\)
\(\displaystyle{ 4a+2b+c=2}\)
\(\displaystyle{ 9a+3b+c=3}\)

Rozwiązujesz to jako ukł. równań z 3 niewiadomymi.

Powinno Ci wyjść \(\displaystyle{ a=0 b=1 c=0}\)

Czyli odpowiedź:
\(\displaystyle{ R(x)=x}\)

[fivi91]

Dziękuje bardzo