Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
czlowiek_pajak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 112
Rejestracja: 3 wrz 2009, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 5 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: czlowiek_pajak »

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że zbiór rozwiązań równania \(\displaystyle{ (x^{3} + 3x^{2} - 4)(x^{2} + bx - 4) = 0}\) jest zbiorem trzyelementowym.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: Rogal »

W czym problem? Zobacz, ile rozwiązań dostaniesz z pierwszego nawiasu i ile Ci wtedy potrzeba z drugiego.
czlowiek_pajak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 112
Rejestracja: 3 wrz 2009, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 5 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: czlowiek_pajak »

Tak zrobiłem. Wyszło:
\(\displaystyle{ (x + 2)^{2}(x - 1)(x^{2} + bx - 4)}\)
Czyli w \(\displaystyle{ x^{2} + bx - 4}\) delta = 0. Wychodzi, że \(\displaystyle{ b^{2} = -16}\)...
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: xanowron »

Czyli z drugiego nawiasu masz brak rozwiązań, a z pierwszego masz trzy. Wyciągnij wniosek.
Awatar użytkownika
M Ciesielski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: M Ciesielski »

Z pierwszego nawiasu mamy dwa rozwiązania, to po pierwsze.

Po drugie, z tego wynika, że nie istnieje takie b.
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: xanowron »

Jak na moje to ten zbiór to \(\displaystyle{ \lbrace -2,-2,1\rbrace}\). Zależy od tego co rozumie się przez "rozwiązanie", "pierwiastek", "pierwiastek wielokrotny".
lipa91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 2 lut 2010, o 13:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łomża

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: lipa91 »

z wyrażenia \(\displaystyle{ (x + 2)^{2}(x - 1)}\) mamy 2 elementy: \(\displaystyle{ \lbrace -2; 1 \rbrace}\)

niech \(\displaystyle{ (x^{2} + bx - 4)=f(x)}\)

gdy \(\displaystyle{ \Delta_f =0}\) to \(\displaystyle{ b \in \phi}\) i pozostają 2 elementy

gdy \(\displaystyle{ \Delta_f >0}\) to f ma 2 pierwiastki. Jeżeli jeden będzie należał do \(\displaystyle{ \lbrace -2; 1 \rbrace}\) to całość będzie miała 3 pierwiastki.
mefek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 19 mar 2010, o 13:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie
Podziękował: 4 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: mefek »

Drugi nawias może mieć 2 rozwiązania (jednego nie ma nigdy) kiedy jedno z nich będzie 1 lub -2.
Tak będzie jeżeli b = 3 lub b = 0. Wtedy mamy 2 elementy (1rozw + 1rozw. podwójne) z pierwszego nawiasu i 1 element z drugiego nawiasu (1 rozwiązanie, które jest takim samym 1 lub -2, wiec go nie liczymy + 1 rozw. różne od dotychczasowych)

1. {1;-2;-2}
2. {1;-4 lub -2;2}

Czyli w sumie {1;-2;-4 lub 2}
Aman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 6 wrz 2010, o 15:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rypin
Podziękował: 6 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: Aman »

Przepraszam, że odkopuję temat, ale być może przyda się to komuś przed maturą..

W zadaniu trzeba znaleźć zbiór trzyelementowy, na przykład {2,1,0}..
Nie wydaje mi się, by autorowi zadania chodziło o {-2,-2,1}, zwłaszcza, że w odpowiedzi do książki jest b =3 lub b=0

\(\displaystyle{ (x^{3}+3x^{2}-4)(x^{2}+bx-4)}\)
przekształcamy: \(\displaystyle{ (x-1)(x^{2}+4x+4)(x^{2}+bx-4)}\)
z pierwszego nawiasu mamy x1=1 oraz x2=-2 (pierwiastek podwójny)

tak, więc nasz zbiór w tej chwili wygląda tak : {1,-2}
brakuje jednego elementu (pierwiastka z drugiego nawiasu)

\(\displaystyle{ (x^{2}+bx-4)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^{2}+16}\)
\(\displaystyle{ b^{2}+16>0 \Rightarrow b \in R}\)

Wniosek? Jakiekolwiek nie byłoby b, drugi nawias będzie miał dwa pierwiastki.. tylko, że wtedy nasz zbiór będzie czteroelementowy.. chyba, że..

No właśnie! Chyba, że jednym z pierwiastków równania \(\displaystyle{ (x^{2}+bx-4)}\) będzie -2 lub 1!
podstawiamy do równania x=-2 lub x=1 i otrzymujemy, że dla x=-2 b=0, a dla x=1 b=3

Tak więc, odpowiedź brzmi : \(\displaystyle{ b=0 \vee b=3}\)
slimymaxim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 mar 2012, o 17:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 2 razy

Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste b takie, że...

Post autor: slimymaxim »

Aman! Dzięki wielkie! Akurat dziś napisałeś, na dziś potrzebne, do matury się przyda jak najbardziej!
ODPOWIEDZ