Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, takie, że liczba \(\displaystyle{ n^{4}+4}\)
Wydaje się, że prawidłową odpowiedzią będzie jedynie n=1. Co Wy sądzicie na temat tego zadania?
Liczba pierwsza
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Liczba pierwsza
Dopisz coś w treści zadania, bo wydaje się niekompletna
A co do samego zadania:
\(\displaystyle{ n^4+4=n^4+4n^2 +4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)}\)
Z definicji liczby pierwszej wynika, że jeśli \(\displaystyle{ n^4+4}\) jest pierwsza, to ma dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ n^2-2n+2=1}\)
\(\displaystyle{ n^2-2n+1=0}\)
\(\displaystyle{ (n-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ n=1}\)
Więc rzeczywiście jedyną poprawną odpowiedzią jest n=1.
A co do samego zadania:
\(\displaystyle{ n^4+4=n^4+4n^2 +4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)}\)
Z definicji liczby pierwszej wynika, że jeśli \(\displaystyle{ n^4+4}\) jest pierwsza, to ma dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ n^2-2n+2=1}\)
\(\displaystyle{ n^2-2n+1=0}\)
\(\displaystyle{ (n-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ n=1}\)
Więc rzeczywiście jedyną poprawną odpowiedzią jest n=1.