Zadanie na dowodzenie

[Szczypior]

Wykazać, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{6}+ax^{4}+bx^{2}+c}\) jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\) to również jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^{2}-x+1}\)

[Tristan]

Zauważ najpierw, że \(\displaystyle{ W(x)=W(-x)}\)
Teraz dokonaj pisemnego dzielenia W(x) przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) a otrzymasz, że resztą z dzielenia jest \(\displaystyle{ (a-b)x+c-b+1}\). Skoro dany wielomian W(x) jest podzielny przez ten trójmian to reszta jest równa zero, więc prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ (a-b)x +c-b+1=0}\).
Dokonaj teraz dzielenia W(x) przez \(\displaystyle{ x^2-x+1}\). Otrzymasz, że reszta to \(\displaystyle{ (b-a)x+c-b+1}\). Jeżeli a=b to oczywiście reszty te są równe, więc ta druga reszta również równa jest zero. Jeżeli natomiast \(\displaystyle{ a b}\), to z pierwszej równości mamy \(\displaystyle{ x=\frac{c-b+1}{a-b}}\). Korzystając z faktu, że \(\displaystyle{ W(x)=W(-x)}\) mamy, że -x=0, a przecież \(\displaystyle{ -x=\frac{c-b+1}{b-a}}\), czyli \(\displaystyle{ (b-a)x+c-b+1=0}\). Czyli w obydwu przypadkach zachodzi dane równanie, więc teza zadania jest spełniona.

[Szczypior]

Dzięki Ci, Tristan

[mirek]

Niestety to rozwiązanie nie jest dobre bo reszta ma być tożsamoścoiwo równa 0. więc nie można pisąć = 0, tylko odpowiednie współczynniki reszty muszą być równe zero. mamy więc, że a-b=0 oraz c-b+1=0 a to nam w zupełności wystarcza do stwierdzenia tego, że reszta z drugiego dzielenia jest równa 0.

[ Dodano: 16 Sierpień 2006, 11:38 ]
Szczypior,
sprawdż rozwiązanie z wielominem idzieleniem

[Tristan]

Rzeczywiście, skoro dla każdego iksa musi zachodzić \(\displaystyle{ (a-b)x + c-b+1=0}\), to musi być \(\displaystyle{ a-b=0 c-b+1=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=b=c+1}\) i z tymi danymi widzimy, że dla każdego x również będzie zachodziło \(\displaystyle{ (b-a)x+c-b+1=0}\).