Zadanie z pierwiastkiem całkowitym

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Szczypior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 30 sty 2006, o 18:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ...
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 7 razy

Zadanie z pierwiastkiem całkowitym

Post autor: Szczypior »

Damy jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+4x+p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Znajdź \(\displaystyle{ p}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek całkowity.

Proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Zadanie z pierwiastkiem całkowitym

Post autor: Tristan »

Jeżeli dany wielomian W(x) ma pierwiastek całkowity, to współczynnik p jest podzielny przez ten pierwiastek.
Musi więc zachodzić jedno z równań:
\(\displaystyle{ W(p)=0 W(-p)=0 W(1)=0 W(-1)=0}\)
Wynika to z faktu, że p jest liczbą pierwszą, więc możemy ją jedynie przedstawić w postaci \(\displaystyle{ p=p 1= (-1) (-p)}\).
Łatwo obliczamy, że pierwsze trzy równania są sprzeczne. A dla W(-1)=0 mamy:
\(\displaystyle{ (-1)^3+4\cdot (-1)+p=0}\)
\(\displaystyle{ -1-4+p=0}\)
\(\displaystyle{ p=5}\)
Szczypior
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 30 sty 2006, o 18:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ...
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 7 razy

Zadanie z pierwiastkiem całkowitym

Post autor: Szczypior »

Racja! Dzięki!
ODPOWIEDZ