brak rzeczywistych pierwiastków

rob1991 · Post autor: **rob1991** » 27 sty 2010, o 22:22

Należy wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ x ^{4}-2x ^{3}+2x ^{2}-6x+9}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych. Próbowałem doprowadzić do postaci iloczynowej 2 metodami, najpierw metodą "logiki", a potem wedle twierdzenia, że każdy wielomian można rozłożyć na wielomian co najwyżej stopnia 2, ale wyszły zbyt skomplikowane obliczenia. Proszę o wskazówki.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 sty 2010, o 22:26

Pochodna (jeśli znasz ) i ekstrema.

Jeśli nie to idzie ,,moją metodą".

Przyrównaj go do \(\displaystyle{ (x^2+ax+3)(x^2+bx+3)}\)

xanowron · Post autor: **xanowron** » 27 sty 2010, o 22:51

\(\displaystyle{ x ^{4}-2x ^{3}+2x ^{2}-6x+9=(x ^{4}-2x ^{3}+x ^{2})+(x^{2}-6x+9)=(x^2-x)^{2}+(x-3)^{2}}\)

Żeby się to zerowało to oba nawiasy musiałyby być jednocześnie równe zero, a jak widać nie są czyli wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.

rob1991 · Post autor: **rob1991** » 27 sty 2010, o 22:59

Dzięki, też tak próbowałem, ale zamiast 3 dałem niewiadomą :