cykliczne przejście
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
cykliczne przejście
Jak łątwo zobaczyć ...gdy \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-1}\), to \(\displaystyle{ f(0)=-1, f(-1)=0}\). A czy istnieje wielomian o wspólczynnikach całkowitych, t że: \(\displaystyle{ f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\)są całkowite...?!
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
cykliczne przejście
Załóżmy, że istnieje taka funkcja kwadratowa, gdzie \(\displaystyle{ f(x)=ax^2 +bx+c}\) i a,b,c są całkowite. Mamy więc trzy układy równań. Z drugiego równania układu mamy:
\(\displaystyle{ f(b)=c}\)
\(\displaystyle{ ab^2+b^2+c=c}\)
\(\displaystyle{ b^2(a+1)=0}\)
Rozpatrując przypadek, gdy b=0 dochodzimy do sprzeczności, więc a=-1. Wtedy łatwo obliczamy, że b=-1 oraz c=-1. Więc przykładem wielomianu, który spełnia założenia zadania jest \(\displaystyle{ f(x)=-x^2-x-1}\).
\(\displaystyle{ f(b)=c}\)
\(\displaystyle{ ab^2+b^2+c=c}\)
\(\displaystyle{ b^2(a+1)=0}\)
Rozpatrując przypadek, gdy b=0 dochodzimy do sprzeczności, więc a=-1. Wtedy łatwo obliczamy, że b=-1 oraz c=-1. Więc przykładem wielomianu, który spełnia założenia zadania jest \(\displaystyle{ f(x)=-x^2-x-1}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
cykliczne przejście
Czy ten wielomian ma posiadać TYLKO współczynniki a,b,c , czy może posiadać również inne współczynniki, niekoniecznie całkowite, ale wybrane a,b,c mają spełniać warunki zadania?
Wielomian posiadający tylko wspóczynniki a,b,c , a którykolwiek ze współczynników jest równy zero - nie spełnia warunków zadania.
Wielomian posiadający tylko wspóczynniki a,b,c , a którykolwiek ze współczynników jest równy zero - nie spełnia warunków zadania.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
cykliczne przejście
\(\displaystyle{ a-b|b-c|c-a|a-b}\)
wiec \(\displaystyle{ |a-b|=|b-c|=|c-a|}\)
no to jesli a=max{a,b,c} to musi byc c=b
wiec \(\displaystyle{ |a-b|=|b-c|=|c-a|}\)
no to jesli a=max{a,b,c} to musi byc c=b