Temat zadania.
Wyznaczyć dziedzinę i zbióry wartości następująych funkcji. Sprawdzić, że są różnowartościowe. Wyznaczyć, o ile istnieją, funkcje odwrotne.
a)
\(\displaystyle{ f \left( x\right)= \frac{x+2}{x-3}}\)
\(\displaystyle{ f:R \backslash (3) \rightarrow R}\)
\(\displaystyle{ \vee x _{1},x_{2} \in R \backslash (3) [ f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}]}\)
\(\displaystyle{ \vee x _{1},x_{1} \in R \backslash (3) [ \frac{x_{1}+2}{x_{1}-3}=\frac{x_{2}+2}{x_{2}-3} \Rightarrow x_{1}=x_{2}]}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+2}{x_{1}-3}=\frac{x_{2}+2}{x_{2}-3}}\)
Po przekstałceniach algebraicznych wychodzi, że \(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}}\) więc przystępuje do wyznaczania funckji odwrotnej.
\(\displaystyle{ f:R \backslash (3) \rightarrow R}\) nad strzałką ma być 1-1 ale nie umiem tego napisać w latexie:/
dalej
\(\displaystyle{ f ^{-1} :Wf \rightarrow R}\)
\(\displaystyle{ y=f ^{-1}(x) \Rightarrow x=f(y), x \in Wf \wedge y \in Df}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{y+2}{y-3}}\)
\(\displaystyle{ x(y-3)=y+2}\)
\(\displaystyle{ xy-3x=y-2 |-y+3x+2}\)
\(\displaystyle{ xy-y=3x+2}\)
\(\displaystyle{ y(x-1)=3x+2 |:(x-1)}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{3x+2}{x-1}}\)
b)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{ \left|x \right| }}\)
\(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\)
\(\displaystyle{ \vee x _{1},x_{2} \in R \backslash (3) [ f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}]}\)
\(\displaystyle{ \vee x _{1},x_{2} \in R \backslash (3) [ \frac{x_{1}}{ \left|x_{1} \right| }=\frac{x_{2}}{ \left|x_{2} \right| }) \Rightarrow x_{1}=x_{2}]}\)
\(\displaystyle{ x_{1}* \left| x_{2} \right|= x_{2}* \left|x_{1} \right|}\)
\(\displaystyle{ \left|x \right|=-x \vee x}\)
nie jest różnowartościowa.
Moje wątpliwości dotyczą dwóch spraw. Po pierwsze nie jestem do końca pewien jak się wyznacza dziedzinę i wartości funkcji. Na ćwiczeniach nam powiedziano, że mają to być ogólne i przybliżone wartości a nie dokładne wyliczenia. Po drugie czy sprawdzenie, że funkcja jest różnowartościowa wystarcza do tego aby móc ją odwrócić? Nie trzeba przypadkiem spradzić czy dziedzina i przeciwdzienina się nie pokrywają?
PS
Nie wiem czy dobrym dziale to dałem.
Czy dobrze zrobione?
Czy dobrze zrobione?
No fakt nie zauważyłem z roztargnienia.
czyli
\(\displaystyle{ f:R \backslash (0) \rightarrow R}\)
czyli
\(\displaystyle{ f:R \backslash (0) \rightarrow R}\)