Witam !
Mam takie pytanie jak obliczyć pierwiastki np. takiego wielomianu:
\(\displaystyle{ 36x^{4}-12x^{3}-23x^{2}+4x+4=0}\)
Wiem że można zrobić to z twierdzeń o pierwiastkach całkowitych i wymiernych ale musiałbym chyba ze 3 dni siedzieć i sprawdzać każdy przypadek i czy niema łatwiejszych sposobów. Wiem że jeszcze są te wzory Cardano i Ferrari ale tego mi nauczyciel nie uzna. Jescze kombinowałem graficznie ale jak wiadomo czasem ciężko odczytać z wykresu.
Równanie wielomianu.
-
Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
Równanie wielomianu.
Metoda grupowania, której użyłem, z grubsza sprowadza się do zgadywania "co by tu wyłączyć, żeby wszystko się ładnie poskładało" - więc niestety trzeba zgadnąć.
Chociaż często przydatna, jestem pewien, że ten konkretny przykład policzyłbym szybciej z tw. o pierwiastkach całkowitych.
Chociaż często przydatna, jestem pewien, że ten konkretny przykład policzyłbym szybciej z tw. o pierwiastkach całkowitych.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie wielomianu.
Gdyby ktoś chciał rozkładać na dwa trójmiany sprowadzając równanie do różnicy kwadratów to też
by było prosto
\(\displaystyle{ 36x^{4}-12x^{3}-23x^{2}+4x+4=0\\
36x^{4}-12x^{3}+x^{2}-\left( 24x^{2}-4x-4\right)=0\\
\left( 6x^{2}-x\right)^{2}- \left( 24x^{2}-4x-4\right)=0\\
\left( 6x^{2}-x+ \frac{y}{2} \right)^{2}-\left( \left( 6y+24\right)x^{2}-\left( y+4\right)x+ \frac{y^{2}}{4}-4 \right)=0\\
\left( y+4\right)^2-\left( y^{2}-16\right)\left( 6y+24\right)=0\\
\left( y+4\right)\left( 6y^{2}-96-y-4\right)=0\\
\left( y+4\right)\left( 6y^{2}-y-100\right)=0\\
\left( 6x^{2}-x-2 \right)^{2}=0}\)
Dostaliśmy wprawdzie równanie trzeciego stopnia ale można było w nim wyłączyć wspólny czynnik
Metoda której użyłem sprowadza się z grubsza do tego że
Chcemy sprowadzić równanie najpierwdo postaci różnicy kwadratów
Grupujemy równanie w nawiasy tak aby w jednym z nich otrzymać trójmian kwadratowy
Wyrażenie w nawiasie bez trójmianu kwadratowego uzupełniamy do kwadratu
zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia
Teraz chcemy aby trójmian kwadratowy również był kwadratem, więc jego wyróżnik musi być równy zero
Liczenie wyróżnika od razu to kiepski pomysł ponieważ po przyrównaniu go do zera możemy dostać sprzeczność
Musimy więc wprowadzić nową zmienną aby uzależnić od niej wyróżnik
Nową zmienną wprowadzamy tak aby wyrażenie z jednego z nawiasów nadal było kwadratem
(znowu korzystamy z wzorów skróconego mnożenia)
Po obliczeniu wyróżnika trójmianu kwadratowego i przyrównaniu go do zera dostajemy równanie trzeciego
stopnia względem wprowadzonej zmiennej
Bierzemy jeden pierwiastek równania trzeciego stopnia i wstawiamy go do równania czwartego stopnia
Teraz gdy wyrażenia w obydwu nawiasach są kwadratami korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
na różnicę kwadratów i dostajemy iloczyn dwóch trójmianów
Jeżeli równanie rozwiązujące ma pierwiastki wymierne , da się łatwo pogrupować , wyłączyć wspólny czynnik
wtedy jest łatwiej
Jeżeli nie to trzeba użyć wzorów Cardano i tego by mogli nie uznać
by było prosto
\(\displaystyle{ 36x^{4}-12x^{3}-23x^{2}+4x+4=0\\
36x^{4}-12x^{3}+x^{2}-\left( 24x^{2}-4x-4\right)=0\\
\left( 6x^{2}-x\right)^{2}- \left( 24x^{2}-4x-4\right)=0\\
\left( 6x^{2}-x+ \frac{y}{2} \right)^{2}-\left( \left( 6y+24\right)x^{2}-\left( y+4\right)x+ \frac{y^{2}}{4}-4 \right)=0\\
\left( y+4\right)^2-\left( y^{2}-16\right)\left( 6y+24\right)=0\\
\left( y+4\right)\left( 6y^{2}-96-y-4\right)=0\\
\left( y+4\right)\left( 6y^{2}-y-100\right)=0\\
\left( 6x^{2}-x-2 \right)^{2}=0}\)
Dostaliśmy wprawdzie równanie trzeciego stopnia ale można było w nim wyłączyć wspólny czynnik
Metoda której użyłem sprowadza się z grubsza do tego że
Chcemy sprowadzić równanie najpierwdo postaci różnicy kwadratów
Grupujemy równanie w nawiasy tak aby w jednym z nich otrzymać trójmian kwadratowy
Wyrażenie w nawiasie bez trójmianu kwadratowego uzupełniamy do kwadratu
zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia
Teraz chcemy aby trójmian kwadratowy również był kwadratem, więc jego wyróżnik musi być równy zero
Liczenie wyróżnika od razu to kiepski pomysł ponieważ po przyrównaniu go do zera możemy dostać sprzeczność
Musimy więc wprowadzić nową zmienną aby uzależnić od niej wyróżnik
Nową zmienną wprowadzamy tak aby wyrażenie z jednego z nawiasów nadal było kwadratem
(znowu korzystamy z wzorów skróconego mnożenia)
Po obliczeniu wyróżnika trójmianu kwadratowego i przyrównaniu go do zera dostajemy równanie trzeciego
stopnia względem wprowadzonej zmiennej
Bierzemy jeden pierwiastek równania trzeciego stopnia i wstawiamy go do równania czwartego stopnia
Teraz gdy wyrażenia w obydwu nawiasach są kwadratami korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
na różnicę kwadratów i dostajemy iloczyn dwóch trójmianów
Jeżeli równanie rozwiązujące ma pierwiastki wymierne , da się łatwo pogrupować , wyłączyć wspólny czynnik
wtedy jest łatwiej
Jeżeli nie to trzeba użyć wzorów Cardano i tego by mogli nie uznać