Zmienność funkcji

zico232 · Post autor: **zico232** » 23 sty 2010, o 13:24

Witam, mam do rozwiązania zadanie, które brzmi następująco:

Zbadaj przebieg zmienności funkcji i sporządź jej wykres.

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sqrt{x} }{(x-1)}}\)

-----------

moje rozwiązania są następujące:

punkt przecięcia z UW: (0;0)
dziedzina funkcji: \(\displaystyle{ (0, \infty )}\)
asymptota pozioma: y=0
asymptota pionowa: x=0
nie ma as. ukośnych
pochodna z f(x): \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ 2(x-1)\sqrt{x} } - \frac{\sqrt{x}}{(x-1)^2}}\)
no i dziedzina tej pochodnej wychodzi mi taka: \(\displaystyle{ x \in (0,1) \cup (1, \infty )}\)

na tym momencie się zatrzymałem... jak narysować wykres tej pochodnej, jak wyznaczyć z tego ekstrema lokalne, monotoniczność? wyklęsłość/wypukłość? proszę o jakąś podpowiedź.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 23 sty 2010, o 15:06

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sqrt{x} }{(x-1)}}\)

dziedzina funkcji: \(\displaystyle{ <0, \infty )\backslash \{1\}}\)
Zbiór wartości: \(\displaystyle{ (- \infty , + \infty )}\)
punkt przecięcia z UW: (0;0)
asymptota pozioma: y=0
asymptota pionowa: x=1
nie ma as. ukośnych
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{ \frac{x-1}{2 \sqrt{x} }- \sqrt{x} }{(x-1)^2} =- \frac{x+1}{ 2\sqrt{x}(x-1)^2 }, x \in (0, +\infty )\backslash \{1\}=D_{f'}.}\)
\(\displaystyle{ \forall x \in D_{f'} \ f'(x),0}\) funkcja maleje w swojej dziedzinie.
\(\displaystyle{ f''(x) = - \frac{ 2\sqrt{x}(x-1)^2+ \frac{(x+1)^2(x-1)}{ \sqrt{x} }} {4x(x-1)^4} }= \frac{3x^2-2x+1}{4 \sqrt{x^3}(x-1)^3 }, \ x \in (0, +\infty )\backslash \{1\}.}\)
\(\displaystyle{ f''(x)<0 \Leftrightarrow x<1, \ f''(x)>0 \Leftrightarrow x>1.}\)

zico232 · Post autor: **zico232** » 23 sty 2010, o 18:12

no, oczywiscie dziedzina f(x) bez jedynki, źle przepisałem z zeszytu!

\(\displaystyle{ \forall x \in D_{f'} \ f'(x),0}\) funkcja maleje w swojej dziedzinie.

f'(x)=0 miało być? bo nie rozumiem tego zapisu... w każdym razie, jak to udowodnić i pokazać, że funkcja maleje? bo wykres narysowałem sobie funkcji f(x) i to widzę, że maleje, ale nie mogę teraz tego pokazać, nie potrafię wyprowadzić tej tabelki co przy ekstremach się przydaje...

a co do f''(x) - trzy razy liczę i wychodzi mi inaczej.. gdzie tu robię błąd?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 23 sty 2010, o 20:15

Funkcja nie ma ekstrememum. Równanie \(\displaystyle{ f'(x)= 0}\) nie ma rozwiazań dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)\cup(1,+ \infty}\). Dla każdego x z tej sumy \(\displaystyle{ f'(x)<0}\), więc sama funkcja jest malejąca.
Co do drugiej pochodnej. Nie gwarantuję poprawności moich obliczeń, ale Kolega też (chyba?) żle ją wyliczył. Czynnik \(\displaystyle{ x-1}\) na pewno powinien wystąpić w liczniku i mianowniku. Pozwala to na srócenie ułamka.

zico232 · Post autor: **zico232** » 23 sty 2010, o 23:02

Wielkie dzięki za pomoc. Twoja odpowiedź jest dobra, tak wychodzi też na Wolframalpha, po rozpisaniu wychodzi tak jak ty masz... ale jak do tego doszedłeś, nie mam pojęcia... w screenie znalazłem błąd, na początku źle pochodną pierwszą przepisałem, ale teraz 4x już przjerzałem nowe zapiski i licznik mi wychodzi \(\displaystyle{ 3x^2+6x-1}\) Teraz ładnie się skraca tamta x-1, ale co z tego...

I jeszcze pytanie: Funkcja nie jest ciągła. - to stwierdzenie jest oczywiście poprawne?-- 23 stycznia 2010, 23:29 --no kurde ;d nie zasne ;d

napisałem na czysto, w miarę czytelnie, żeby nie było problemów i wrzuciłem na skaner krok po kroku drugą pochodną... proszę, powiedz gdzie jest błąd... ;] z góry WIELKIE DZIĘKI!

JankoS · Post autor: **JankoS** » 24 sty 2010, o 00:50

Pochodna z \(\displaystyle{ 4x^{ \frac{3}{2}}}\) III linijka nie jest \(\displaystyle{ 6x^{ \frac{1}{2}}}\) IV linijka, ale\(\displaystyle{ 12x^{ \frac{1}{2}}.}\)

zico232 · Post autor: **zico232** » 24 sty 2010, o 01:13

JankoS pisze:Pochodna z \(\displaystyle{ 4x^{ \frac{3}{2}}}\) III linijka nie jest \(\displaystyle{ 6x^{ \frac{1}{2}}}\) IV linijka, ale\(\displaystyle{ 12x^{ \frac{1}{2}}.}\)

Jak to...

\(\displaystyle{ (4x^{ \frac{3}{2}})'= 4* \frac{3}{2} *x^{ \frac{1}{2}}+ 0 * x^{ \frac{3}{2}}\)

JankoS · Post autor: **JankoS** » 24 sty 2010, o 01:44

Faktycznie. Chyba jest zbyt późno.
\(\displaystyle{ 3x^3+3x^2-7x+1=3x^3-3x+3x^2-3x-(x-1)=3x^2(x-1)+3x(x-1)-(x-1)=(x-1)(3x^2+3x-1).}\)

zico232 · Post autor: **zico232** » 24 sty 2010, o 01:53

oj, chyba znowu zle wychodzi.. moze jutro znajdziemy rozwiazanie ;d

-- 24 stycznia 2010, 01:57 --

JankoS pisze:Faktycznie. Chyba jest zbyt późno.
\(\displaystyle{ 3x^3+3x^2-7x+1=3x^3-3x+3x^2-3x-(x-1)=3x^2(x-1)+3x(x-1)-(x-1)=(x-1)(3x^2+3x-1).}\)

Jakby zamienić w tym rozbiciu na 6x, to by wyszło dobrze, a więc taki wynik jaki mi w efekcie wychodzi Masakra ;d

\(\displaystyle{ 3x^3+3x^2-7x+1=3x^3-3x+3x^2-3x-(x-1)=3x^2(x-1)+6x(x-1)-(x-1)=(x-1)(3x^2+6x-1).}\)

-- 24 stycznia 2010, 10:19 --

noo, zrobione wreszcie... sprawdziłem na WA jeszcze raz to rozwiązanie i wyliczyłem i chyba ominąłem wczesniej jakis minus, bo wychodzi tak jak mi wyszło \(\displaystyle{ 3x^2+6x-1}\). Tylko teraz jak wklęsłość i wypukłość?

-- 24 stycznia 2010, 10:24 --

na pewno dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) większych od 1, \(\displaystyle{ f''(x)>0}\)

ale w przedziale \(\displaystyle{ \in (0;1)}\) może być różnie... ;/-- 24 stycznia 2010, 10:44 --dobra ostatni post ;d wychodzi mi tak, że dla \(\displaystyle{ x \in (0; -1+ \frac{2 \sqrt{3} }{3})}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest WYPUKŁA, podobnie jak w przedziale \(\displaystyle{ x \in (1; \infty )}\), natomiast WKLĘSŁA jest dla przedziału \(\displaystyle{ (-1+\frac{2 \sqrt{3} }{3};1)}\)

Proszę o potwierdzenie czy jest OK