Równanie z przedziałem!

2.72lo · Post autor: **2.72lo** » 22 sty 2010, o 00:44

Witam, mam nadizeje ze dobry dzial wybralem

.

Przechodzac do sedna - mam takie zadanie:

'Uzasadnic, ze rownianie \(\displaystyle{ x^{7} + 4x - 2 = 0}\) na \(\displaystyle{ [0, \frac{1}{2}]}\) ma tylko jedno rozwiazanie.

Dziekuje z gory.

Pozdrawiam,
2.72lo!

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 22 sty 2010, o 08:27

uzasadnij, że w przedziale [0; 1/2] ta funkcja jest monotoniczna.

superes · Post autor: **superes** » 22 sty 2010, o 09:10

Trzeba zastosować wnioski z twierdzenia Darboux. Jeżeli funkcjia jest ciągała na \(\displaystyle{ [a,b] \ i \ f(a) \cdot f(b)<0}\), to istnieje c, że \(\displaystyle{ f(c)=0}\)
tj. \(\displaystyle{ f(x)=x^{7} + 4x - 2}\)
\(\displaystyle{ f(0)=x^{7} + 4x - 2=-2}\)
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{2} )=x^{7} + 4x - 2 \Rightarrow f( \frac{1}{2} )>0}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow istnieje c, \ takie \ ze f(c)=0}\)