Wartości dodatnie wielomianu 4. stopnia

[Michaell65]

Wykaż, że wielomian W(x)=\(\displaystyle{ x^{4}- 2x^{3}+ 2x^{2}- 8x+16}\) przyjmuje wartosci dodatnie dla każdego x.

[MatizMac]

ja sprobowalbym przedstawić ten wielomian jako \(\displaystyle{ (x^{2}+b+c)^{2}}\) wtedy wiadomoby było, że to wyrażenie jest większe lub równe 0

[Mortify]

albo jako suma kwadratów np:
\(\displaystyle{ x^4 - 2x^3 + x^2 + x^2 - 8x + 16 = (x^2 - x)^2 + (x - 4)^2}\)

[karol123]

Sorry , że odświeżam ten temat. To co przedstawiłMortify to już jest koniec? juz nie trzeba nic liczyc ?? Można napisac że dla każdego kwadratu liczby x będzie liczba dodatnia??

[xanowron]

Nie do końca.
Chodzi o to, że masz sumę dwóch kwadratów które są oczywiście nieujemne. Masz wykazać, że wielomian przyjmuje tylko wartości dodatnie, zatem bez zera, więc trzeba jeszcze pokazać, że suma tych dwóch kwadratów nigdy nie będzie zerem.
Żeby suma kwadratów była zerem to jeden i drugi musi się jednocześnie zerować, a to jest niemożliwe, bo pierwszy zeruje się dla 0,1, a drugi dla 4

[karol123]

Nie do końca.
Chodzi o to, że masz sumę dwóch kwadratów które są oczywiście nieujemne. Masz wykazać, że wielomian przyjmuje tylko wartości dodatnie, zatem bez zera, więc trzeba jeszcze pokazać, że suma tych dwóch kwadratów nigdy nie będzie zerem.
Żeby suma kwadratów była zerem to jeden i drugi musi się jednocześnie zerować, a to jest niemożliwe, bo pierwszy zeruje się dla 0,1, a drugi dla 4

Czyli mam rozwiązac takie coś :

\(\displaystyle{ (x^2 - x)^2 + (x - 4)^2 \neq 0}\)

i to liczyc ?

[Althorion]

Raczej zapisać (słownie) to co xanowron. Po co się przemęczać...

[karol123]

No wiesz.. nigdy nie wiadomo czy mi za takie coś na maturze punktów mi nie odejmą

[Althorion]

Nie odejmą. Ci ludzie mają ciekawsze rzeczy do robienia niż zastanawianie się "jakby tu dokuczyć zdającym".