Równanie typu x + 1/x

[stefan12345]

Oblicz
\(\displaystyle{ x^2+ \frac{1}{x^2}}\)

wiedząc, że \(\displaystyle{ x^3+ \frac{1}{x^3} = 110}\)

Pierwszy pomysł to:
\(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{x})^2 = x^2+ \frac{1}{x^2} + 2}\)
\(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{x})^3 = x^3+ 3x + 3\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}}\)
\(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{x})^3 = 110+ 3(x + \frac{1}{x})}\)
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} = t}\)

i powstanie równanie 3 stopnia, ale czy nie prostszego rozwiązania?
Może ktoś ma jakiś inny pomysł.

[czekoladowy]

Sądze, że łatwiej będzie policzyc \(\displaystyle{ t=x^3}\) z \(\displaystyle{ x^3+ \frac{1}{x^3} = 110 \Leftrightarrow t+ \frac{1}{t}=110 \Leftrightarrow t^2-110t+1=0}\)-- 21 sty 2010, o 10:35 --Co jest nie tak

Ukryta treść:    

Nie wiem czy to ma sens, ale pokaze co wymyslilem.
\(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{x})^3=x^3+3x+3\cdot \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^3}}\)

\(\displaystyle{ (x- \frac{1}{x})^3=x^3-3x+3 \cdot\frac{1}{x}- \frac{1}{x^3}}\)
Sumujemy stronami.
\(\displaystyle{ (x+ \frac{1}{x})^3+(x- \frac{1}{x})^3=2x^3+6\cdot \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ 2x(x^2+2+ \frac{1}{x^2}-x^2+\frac{1}{x^2}+x^2+2+\frac{1}{x^2})=2x^3+6\cdot \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ 2x(x^2+3\cdot\frac{1}{x^2}+4)=2x^3+6\cdot \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ 2x^3+6\cdot \frac{1}{x}+8x=2x^3+6\cdot \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ 8x=0}\)
\(\displaystyle{ x=0}\)
Wynik odrzucamy ze względu na to , ze nie mozna dzielic przez zero. ( )

[mii]

Sądze, że łatwiej będzie policzyc \(\displaystyle{ t=x^3}\) z \(\displaystyle{ x^3+ \frac{1}{x^3} = 110 \Leftrightarrow t+ \frac{1}{t}=110 \Leftrightarrow t^2-110t+1=0}\)

licząc takim sposobem, t wychodzi \(\displaystyle{ 55 \pm 12 \sqrt{21}}\)

i żeby dojść do \(\displaystyle{ x^{2}}\) trzeba to spierwiastkować... ? wydaje się troszkę skomplikowane... czy można jakoś inaczej się dostać do tego \(\displaystyle{ x^{2}}\) ?

[bakala12]

Policz takie rzeczy:
\(\displaystyle{ \left( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{3}}\)
\(\displaystyle{ \left( x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{2}}\)