Współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^3-bx^2-cx+d}\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny o różnicy \(\displaystyle{ r}\). Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem tego wielomanu. Ile pierwiastków ma ten wielomian jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ a*r>0}\)?
Z wykazaniem że liczba 1 jest pierwiastkiem nie ma problemu ale jak policzyć ile pierwiastków ma ten wielomian ?
Pierwiastki wielomianu
-
Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Pierwiastki wielomianu
Weź pod uwagę fakt, iż jest to wielomian trzeciego stopnia więc może on mieć co najwyżej trzy pierwiastki. Uwzględniam fakt, iż wiesz jak udowodnić, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu. Twój wielomian wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ 0=a_{1}-a_{1}-r-a_{1}-2r+a_{1}+3r}\) zachodzi tożsamość. Hm, dalej możesz podzielić ten wielomian przez (x-1) powstanie Ci równanie kwadratowe.
Skoro \(\displaystyle{ a_{1}=a}\) w związku z podanym warunkiem \(\displaystyle{ a}\) oraz różnica \(\displaystyle{ r}\) muszą być tych samych znaków. Wielomian kwadratowy moze mieć dwa pierwiastki, jeden lub wcale.
\(\displaystyle{ 0=a_{1}-a_{1}-r-a_{1}-2r+a_{1}+3r}\) zachodzi tożsamość. Hm, dalej możesz podzielić ten wielomian przez (x-1) powstanie Ci równanie kwadratowe.
Skoro \(\displaystyle{ a_{1}=a}\) w związku z podanym warunkiem \(\displaystyle{ a}\) oraz różnica \(\displaystyle{ r}\) muszą być tych samych znaków. Wielomian kwadratowy moze mieć dwa pierwiastki, jeden lub wcale.