Wartości W(x)=... , które są liczbami pierwszymi

[makkam121]

Mamy wyszukać wszystkie liczby całkowite x, przy których wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{4}+4x ^{3}+6x ^{2}+4x+5}\)
ma wartość, która jest liczbą pierwszą.

Jak to ruszyć?

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ x ^{4}+4x ^{3}+6x ^{2}+4x+5=(x+1)^4+4=(x+1)^4-1+5}\). wyrażenie \(\displaystyle{ (x+1)^4-1+5}\) jest podzielne przez 5 dla dowolnego x całkowitego (nietrudno to uzasadnić, sprawdzając jakie daje reszty z dzielenia przez 5 w zależności od reszt, jakie daje x). zatem jedyna możliwość, dla której jest to liczba pierwsza jest wtedy, gdy jest ono równe 5, czyli musi być \(\displaystyle{ (x+1)^4-1=0}\) czyli x=0 lub x=-2.

[xanowron]

Zauważ, że \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)^4+4=((x+1)^2)^2+2^2=((x+1)^2+2)^2-4(x+1)^2=(((x+1)^2+2)+2(x+1)^2)(((x+1)^2+2)-2(x+1)^2)=(3(x+1)^2+2)(2-(x+1)^2)}\)
Aby wartość wielomianu była liczbą pierwszą to jeden z nawiasów musi równać się \(\displaystyle{ 1}\), oczywiście będzie to drugi nawias, bo pierwszy przyjmuje zawsze wartości nie mniejsze niż 2.

Drugi nawias osiąga wartość \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ x=0 \vee x=-2}\)
Teraz wystarczy sprawdzić co się dzieje dla \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=-2}\) z drugim nawiasem - tzn czy jego wartość jest liczbą pierwszą.



Edit

wyrażenie \(\displaystyle{ (x+1)^4-1+5}\) jest podzielne przez 5 dla dowolnego x całkowitego

A dla \(\displaystyle{ x=4}\) (lub ogólniej \(\displaystyle{ x=5k+4}\))mamy \(\displaystyle{ 5^4-1+5=629 \equiv 4 (mod5)}\)
Chyba, że już śpię

[klaustrofob]

xanowron, to ja spałem. przypadek x=4 (x=5k+4) należy jeszcze rozważyć, choćby Twoją metodą.

[makkam121]

Zauważ, że \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)^4+4=((x+1)^2)^2+2^2=((x+1)^2+2)^2-4(x+1)^2=(((x+1)^2+2)+2(x+1)^2)(((x+1)^2+2)-2(x+1)^2)=(3(x+1)^2+2)(2-(x+1)^2)}\)

Coś mi się nie zgadza w momencie kiedy xanowron zastosował wzór \(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}\)
Czy drugi czynnik nie powinien wyglądać tak: \(\displaystyle{ 2(x+1)}\) zamiast \(\displaystyle{ 2(x+1)^{2}}\)?

[klaustrofob]

raz jeszcze: \(\displaystyle{ x ^{4}+4x ^{3}+6x ^{2}+4x+5=(x^4-x^3+x^2-x)+5(x^3+x^2+x+1)}\). ale
\(\displaystyle{ x^4-x^3+x^2-x=x^2(x^2+1)-x(x^2+1)=(x^2+1)x(x-1)}\) oraz \(\displaystyle{ 5(x^3+x^2+x+1)=5(x+1)(x^2+1)}\) czyli \(\displaystyle{ x ^{4}+4x ^{3}+6x ^{2}+4x+5=(x^2+1)(x(x-1)+5(x+1)}\). pierwszy nawias jest >=1. jedyna możliwość, by iloczyn był liczbą pierwszą jest taka: x=0 - wtedy drugi nawias wynosi 5 i jest ok; x=2 - ale wtedy drugi nawias jest >1 i nie jest ok; x=-2 - wtedy drugi nawias jest równy (-2)(-3)+5(-1)=1 i jest ok.

[xanowron]

Tam jest litrówka w moim rozwiązaniu, rzeczywiście powinno być bez tego kwadratu.