Dowody z wielomianami

[R?kawiczka]

1. Uzasadnij że dla każdej liczby naturalnej x wartość wielomianu W(x)= \(\displaystyle{ x^{5} - 5 x^{3} + 4x}\)jest liczbą podzielną przez 120

2. Uzasadnij że równanie \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)= 2006^{3}}\) nie ma pierwiastków całkowitych

3. Udowodnij że jeśli wielomian W(x)= \(\displaystyle{ X^{3} + px+q}\) ma 3 pierwiastki, to \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą ujemną.

Bardzo prosze o jakieś wskazówki od czego sie zabrać, bo dowody nie są moją dobrą stroną:)

[czekoladowy]

1. Indukcja : \(\displaystyle{ 120|x^5-5x^3+4x}\)
2.
1) Dla x=2005 mamy :
\(\displaystyle{ 2005\cdot2006\cdot2007<2006^3}\)
2) Dla x=2006 mamy:
\(\displaystyle{ 2006\cdot2007\cdot2008>2006^3}\)

EDIT:Ad.2 Należy jeszcze pokazać , że \(\displaystyle{ W(x+1)>W(x)}\) (ale to nie powinno byc problemem)

Ad.2
\(\displaystyle{ W(x)=x(x+1)(x+2)}\)
1) \(\displaystyle{ x \ge 0\RightarrowW(x+1)>W(x)}\)
2) \(\displaystyle{ x < 0\RightarrowW(x+1)<W(x)}\) ( Ta nierówność właściwie Cie nie obchodzi. )

I przez sprzeczność otrzymujesz tezę. ( Na poczatku zakladasz , ze jest takie \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}}\) , że teza jest spełniona.)

[R?kawiczka]

niestety nie miałam w szkole indukcji;/ a nie da sie tego jakoś inaczej zrobić?

[czeslaw]

Jasne że się da.
\(\displaystyle{ x^5 - 5x^3 + 4x = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)

A to jest iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych, jeśli \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}}\). Teraz zauważ pewne własności takiego iloczynu.

[R?kawiczka]

dziękuje teraz rozumiem;) a pomoże ktoś z pozostałymi?:)