wyznaczyć wszystkie wielomiany

[MatizMac]

Wyznaczyć wszystkie wielomiany W spełniające warunek, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in R}\)
\(\displaystyle{ (x-1)\cdot W(x+1) - (x+3)\cdot W(x-1)=0}\)

[szatkus]

Rozpisałem to sobie w postaci iloczynowej i wtedy dość wyraźnie widać, że pasuje tylko wielomian postaci \(\displaystyle{ W(x)=ax(x+2)}\) dla dowolnego a.

[MatizMac]

chyba musisz mi to rozpisać

[szatkus]

Wielomian można zapisać jako:
\(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)...(x-x_n)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Re(x_1)>Re(x_2)>...>Re(x_n)}\)
bo pierwiastki mogą być zespolone.
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ (x-1)a(x-x_1+1)...(x-x_n+1)=(x+3)a(x-x_1-1)...(x-x_n-1)}\)
Po lewej wszystkie pierwiastki przesuwają się o 1 do przodu, a po prawej o 1 do tyłu, wynika z tego, że najmniejszym pierwiastkiem musi być -3, a największym 1. Dalej nie potrafię tego ładnie napisać, ale to widać na zdrowy rozsądek.