Punkty stałe

[mol_ksiazkowy]

Dać przykład wielomianu Q mającego tyle punktów stałych ile jest równy jego stopień.

[Rogal]

Co to jest punkt stały?

[mol_ksiazkowy]

t, ze \(\displaystyle{ Q(x)=x}\)

[Rogal]

To na przykład Q(x) = x^2, Q(x) = x^3.
Ogólnie myślę, iż wystarczy, by dany wielomian miał n punktów przecięć z prostą y=x (gdzie n jest stopniem tegoż wielomianu)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ Q(x)=x^{4}}\)

[Rogal]

Oczywiście, że jest zły, bo nie ma czterech punktów przecięcia z prostą y=x ; )
A wzór ogólny jest praktycznie nie do podania dla wielomianu stopnia > 4 (nad czwórką w sumie pracuję ), bo nie ma wzorów ogólnych, które powiedzą, kiedy dane równanie ma maksymalną ilość pierwiastków.
Natomiast można tak sparametryzować jakiś wielomian sześcienny. Załóżmy, że mamy Q(x) = x^3 + px + 1. Wtedy równanie x^3 + px + 1 = x musi mieć trzy pierwiastki rzeczywiste, czyli
x^3 + x(p-1) + 1 = 0
D = (p-1)^3/27 + 1/4
I poszukaj sobie takiego p, dla którego D jest ujemne.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ Q(x)=[(x-p_{1})(x-p_{2}).....(x-p_{m})+1]x}\),
\(\displaystyle{ p_{k}}\) -k
ta liczba pierwsza.

Masz \(\displaystyle{ Q(p_{k})=p_{k}}\) i
\(\displaystyle{ Q(0)=0}\)

[Rogal]

No też sprytnie, tylko wiemy jak to z tymi pierwszymi liczbami też jest, konkretnie, jak ktoś za duże m rzuci ; p