Wykaż, ze a to podwójny pierwiastek wielomianu:

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ P(x)= x^{n}-a^{n} -na^{n-1}(x-a)}\)

[Tomasz Rużycki]

Znasz twierdzenie mowiace o tym, kiedy pierwiastek jest \(\displaystyle{ k}\)-krotny?

[Mbach]

\(\displaystyle{ P(x)= x^{n}-a^{n} -na^{n-1}(x-a)= (x-a)[(\frac{x^n-a^n}{x-a})-na^{n-1}] = (x-a) [(x^{n-1} + x^{n-2}a + ... +a^{n-2}x+ a^{n-1}) - (na^{n-1})] = (x-a)[(x^{n-1}-a^{n-1}) +(x^{n-2}a -a^{n-1})+...+ (a^{n-2}x - a^{n-1})+(a^{n-1}-a^{n-1})]}\)

ostani skłądnik w nawiasie kwadratowym się zeruje, a z każdego innego da sie wyciągnąć x-a, podbnie jak to zostało zrobione w po drugim równa się cbdo

[mol_ksiazkowy]

Tomasz Ruźycki: wiem, znam, ale ja chciałem elegancko a poza tym elementarnie, tj tak jak Mbach zrobił

_____
Poprawiłem (!)
[bolo]