(2 zadania) Podzielność wielomianów

[basia]

1) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest dowolnym wielomianem, zaś a-dowolną liczbą rzeczywista, to wielomian \(\displaystyle{ f(x)-f(a)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-a}\)
2) Niech \(\displaystyle{ r(p,q)}\) oznacza resztę z dzielenia wielomianu p przez wielomian q. Udowodnij, że :
\(\displaystyle{ r \left( p_1+p_2,q \right) =r \left( p_1,q \right) +r \left( p_2,q \right)}\) i \(\displaystyle{ r \left( p_1 \cdot p_2,q \right) =r \left( r \left( p_1,q \right) \cdot r \left( p_2,q \right) ,q \right)}\) ----->tutaj nie wiem o co chodzi

Bardzo prosze o pomoc

[arigo]

witam

ad1
\(\displaystyle{ f(x) = s(x) \cdot (x-a)+r(x)}\) rozpisane dzielenie wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\)
\(\displaystyle{ f(a) = s(a) \cdot (a-a)+r(x) = r(x)}\) poniewaz \(\displaystyle{ (a-a)=0}\)
\(\displaystyle{ f(x)-f(a)=s(x) \cdot (x-a)+r(x)-r(x)=s(x)(x-a)}\) CND

ad pkt 2 to teraz nie mam czasu tego rozwiazywac :/ masa nauki na jutro

pozdrawiam

[W_Zygmunt]

Ad2.
\(\displaystyle{ r \left( p_1+p_2,q \right) =r \left( p_1,q \right) +r \left( p_2,q \right)}\)
Słownie to reszta z dzielenia sumy wielomianów \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) przez wielomian \(\displaystyle{ q}\) równa jest sumie reszt.
\(\displaystyle{ p_1 \left( x \right) = q \left( x \right) \cdot w_1 \left( x \right) +r_1 \left( x \right) \\
p_2 \left( x \right) = q \left( x \right) \cdot w_2 \left( x \right) +r_2 \left( x \right)}\)
wystarczy dodać stronami.

\(\displaystyle{ r \left( p_1 \cdot p_2,q \right) =r \left( r \left( p_1,q \right) \cdot r \left( p_2,q \right) ,q \right)}\)
reszta z dzielenia iloczynu wielomianów \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) przez wielomian \(\displaystyle{ q}\) równa jest reszcie z dzielenia iloczynu reszt przez wielomian \(\displaystyle{ q}\).
\(\displaystyle{ p_1 \left( x \right) \cdot p_2 \left( x \right) = q^2 \left( x \right) \cdot w_1 \left( x \right) w_2 \left( x \right) +q \left( x \right) \cdot r_2 \left( x \right) \cdot w_1 \left( x \right) \right) +q \left( x \right) \cdot r_1 \left( x \right) \cdot w_2 \left( x \right) +r_1 \left( x \right) \cdot r_2 \left( x \right)}\)
Trzy składniki są podzielne przez \(\displaystyle{ q \left( x \right)}\) a ostatnia jest wielomianem który też dzielimy przez \(\displaystyle{ q \left( x \right)}\), \(\displaystyle{ r_1 \left( x \right) \cdot r_2 \left( x \right) =q \left( x \right) \cdot w_3 \left( x \right) +r_3 \left( x \right)}\)
A to mieliśmy pokazać.