Wyznacz dziedzinę wielomianu.

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 16 sty 2010, o 13:23

Oto zadanie.
Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{|x ^{4}-1|-3(x ^{2} -1)}}\)

Czyli tak: Całe wyrażenie spod pierwiastka ma być większe od zera
\(\displaystyle{ |x ^{4}-1|-3(x ^{2} -1)>0}\)
Dalej I założenie
\(\displaystyle{ x^{4} -1\geqslant0}\)
Wyznaczyłem przedział: \(\displaystyle{ x\in(-\infty,-1) \vee (1,+\infty)}\)-czy to jest dobrze wyznaczone?
Teraz rozwiązuje równanie dla pierwszego założenia. Opuszczam wartość bezwzględną i liczę.
Otrzymałem taki oto przedział: \(\displaystyle{ x\in(-\infty,- \sqrt{2}) \vee (-1,1) \vee ( \sqrt{2}+\infty)}\).
I teraz(jeżeli dobrze to robię ) to muszę wyznaczyć sumę czy iloczyn tych przedziałów? Chodzi mi o przedział z pierwszego założenia + przedział po rozwiązaniu równania.

TheBill · Post autor: **TheBill** » 16 sty 2010, o 14:27

C@rn@ge pisze:Czyli tak: Całe wyrażenie spod pierwiastka ma być większe od zera
\(\displaystyle{ |x ^{4}-1|-3(x ^{2} -1) > 0}\)

Większe, bądź równe zero
\(\displaystyle{ |x ^{4}-1|-3(x ^{2} -1) \ge 0}\)

C@rn@ge pisze:\(\displaystyle{ x^{4} -1\geqslant0}\)

To rozwiązujesz jak normalną nierówność, więc zamiast \(\displaystyle{ \vee}\) dajesz \(\displaystyle{ \cup}\), zapomniałeś domknąłeś, więc: \(\displaystyle{ x\in(-\infty,-1> \cup <1,+\infty)}\)
Opuszczasz wart. bezwzględną i również te same błędy co wyżej Czyli ma być:
\(\displaystyle{ x\in(-\infty,- \sqrt{2}> \cup <-1,1> \cup < \sqrt{2}+\infty)}\).
Jeżeli chodzi o ostatnie pytanie, to wyznaczasz iloczyn tych przedziałów, bo rozwiązania (te po opuszczeniu wart. bezwzględnej) muszą zawierać sie w założeniu.
Czyli dziedziną funkcji na pewno są liczby \(\displaystyle{ x\in(-\infty,- \sqrt{2}> \cup < \sqrt{2}+\infty)}\).
Jescze sprawdź gdy \(\displaystyle{ x^{4} -1 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x\in(-1 ; 1)}\)

slawekstudia6 · Post autor: **slawekstudia6** » 16 sty 2010, o 14:29

rozwiązanie
\(\displaystyle{ |x ^{4}-1|-3(x ^{2} -1) \ge 0}\)
bo pierwiastek kwadratowy z zera istnieje

\(\displaystyle{ |x ^{4}-1|-3(x ^{2} -1) \ge 0
\begin{cases} (x ^{4}-1)-3(x ^{2} -1) \ge 0 \quad\text{dla} \quad x\in(-\infty,-1> \cup <1,+\infty)
\\ -(x ^{4}-1)-3(x ^{2} -1) \ge 0 \quad\text{dla} \quad x\in(-1;1)\end{cases}}\)

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 16 sty 2010, o 14:38

Wielkie dzięki. Zasugerowałem się zadaniem w którym pierwiastek znajdował się w mianowniku i byłem święcie przekonany że to taki sam przykład. Ogromne podziękowania dla Was obu.-- 16 sty 2010, o 15:21 --Dobra mam jeszcze prośbę o sprawdzenie pozostałej części tego zadania.

Dla \(\displaystyle{ x^{4} -1 < 0}\) wyszedł przedział \(\displaystyle{ (-1,1)}\)
Opuściłem wartość bezwzględną i otrzymałem przedział- \(\displaystyle{ x\in<-2,-1>\cup<1,2>}\).
Iloczyn obu wyszedł mi \(\displaystyle{ x\in\lbrace-1,1\rbrace}\). Czy dobrze?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 17 sty 2010, o 11:29

Przecież @slawekstudia6 napisał jak to robić (dokładnie się nie wpatrywałem).

Po co więc chcesz (zresztą od samego początku) zajmować się samym \(\displaystyle{ (x^4-1)}\) nie wiem.

Patrz :
pierwsza nierówność
\(\displaystyle{ (x^4-1)-3(x^2-1)\geq 0}\)

\(\displaystyle{ (x^2-1)(x^2+1)-3(x^2-1)\geq 0}\)

\(\displaystyle{ (x^2-1)[x^2+1-3]\geq 0}\) kończyć

[edit] Trochę się domyślam skąd ,,zaintere3sowanie" tylko tym \(\displaystyle{ x^4-1}\).
Rozpisz jak Ci pokazałem \(\displaystyle{ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)}\)
A dalej :
\(\displaystyle{ (x^2-1)(x^2+1)\geq0|:(x^2+1)}\) możesz tak podzielić i rozwiązać nierówność kwadratową

C@rn@ge pisze:Dla \(\displaystyle{ x^{4} -1 < 0}\) wyszedł przedział \(\displaystyle{ (-1,1)}\)
Opuściłem wartość bezwzględną i otrzymałem przedział- \(\displaystyle{ x\in<-2,-1>\cup<1,2>}\).
Iloczyn obu wyszedł mi \(\displaystyle{ x\in\lbrace-1,1\rbrace}\). Czy dobrze?

Tu pierwsza linijka ok.
Dalej nie wiem skąd to masz (za bardzo nie sprawdzałem).

Iloczyn jest zbiorem pustym.