2 zadania z wielomianów

[mcmcjj]

1. Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\), ma 2 różne miejsca zerowe: -2 i 3, przy czym 3 - pierwiastek dwukrotny oraz W(1) = -12. Wyznacz wartości współczynników a, b, c, d.

Jak to szybko policzyć ? Wychodzą mi z danych zadania 3 równania, ale liczę, liczę i nic konkretnego nie wychodzi, żaden ze współczynników.

2. Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ x^{4} + (m - 3)x^{2} + m^{2} = 0}\) ma 4 różne rozwiązania ?

Podstawiłem sobie \(\displaystyle{ x^2 = k}\). Teraz jest problem. Jakie warunki muszą być żeby były 4 różne miejsca zerowe, zapewne delta większa od zera, ale nie wiem co jeszcze.

[anna_]

1.
\(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} + cx + d=a(x + 2)(x - 3)^2}\)
\(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} + cx + d=ax^3 - 4ax^2 - 3ax + 18a}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-4a\\c=-3a\\d=18a \\ W(1)=-12 \end{cases}}\)

2.
post630343.htm

[południowalolka]

1. Skoro masz wielomiam trzeciego stopnia to moze miec on conajwyzej trzy pierwiastki. Zapisujesz sobie posatc ogolna \(\displaystyle{ W(x)=a(x-3) ^{2} (x+2)}\) Podstawiasz pod to punkt który znasz i gotowe:)

[mcmcjj]

Mam jeszcze tylko problem z tymi dwoma:

1. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x) = (x - 2)(X^{2} - 2mx + 1 - m^{2})}\), gdzie \(\displaystyle{ m \in R}\). Dla jakich wartości parametru m wielomian ma 3 różne pierwiastki ?

2. Wielomian \(\displaystyle{ W(x) = -x^{3} + 5x^{2} + ax + b}\) jest równy wielomianowi \(\displaystyle{ P(x) = (x-1)^{2}(c - x)}\), gdzie \(\displaystyle{ c \neq 1}\). Wyznacz a, b i c.

Jak to jakoś prosto zrobić ?

[anna_]

1.
Jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ 2}\), czyli \(\displaystyle{ x^{2} - 2mx + 1 - m^{2}}\) musi mieć dwa pierwiastki
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)

2.
\(\displaystyle{ W(x)=-x^{3} + 5x^{2} + ax + b}\)
\(\displaystyle{ P(x) = (x-1)^{2}(c - x)=- x^3 + x^2(c + 2) - x(2c + 1) + c}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c+2=5 \\ -(2c+1)=a\\b=c \end{cases}}\)

[mcmcjj]

1.
Jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ 2}\), czyli \(\displaystyle{ x^{2} - 2mx + 1 - m^{2}}\) musi mieć dwa pierwiastki
\(\displaystyle{ \Delta>0}\)

Można jaśniej ? Mam podstawić W(2)=0 i rozwiązać deltę ? Policzyć nierówność dla drugiego nawiasu ? Nie wychodzi mi tak jak w odpowiedziach, powinno być: \(\displaystyle{ m \in (- \infty , -5) \cup (-5 , -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup ( \frac{ \sqrt{2} }{2} , 1) \cup (1 , + \infty )}\).-- 17 sty 2010, o 16:25 --???