1) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla którcyh równanie \(\displaystyle{ m x^{4} - (m+1) x^{2} + 1=0}\) ma cztery różne rozwiązania rzeczywiste.
2) Dla jakich wartości parametru m, pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= ( x^{2} -4) (x-m)}\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny.
3) Dla jakich wartości parametru p wielomian \(\displaystyle{ W(x)=( x^{2} -4x+4) \left[ x ^{2}+(p-1)x + p \right]}\) ma trzy różne pierwiastki?
z parametrem
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
z parametrem
1) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla którcyh równanie \(\displaystyle{ mx^{4}-(m+1)x^{2} + 1=0}\) ma cztery różne rozwiązania rzeczywiste.
\(\displaystyle{ x^{2}=t; t \ge 0\\
mt^{2}-(m+1)t + 1=0\\
m \neq 0\\
\Delta >0\\
t_{1}+t_{2}>0\\
t_{1}t_{2}>0}\)
2) Dla jakich wartości parametru m, pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= ( x^{2} -4) (x-m)}\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny.
\(\displaystyle{ W(x)= ( x^{2} -4) (x-m)=(x-2)(x+2)(x-m)}\)
(m,-2,2) lub (-2,m,2) lub (-2,2,m) stąd: m=-6, m=0, m=6
3) Dla jakich wartości parametru p wielomian \(\displaystyle{ W(x)=( x^{2} -4x+4) \left[ x ^{2}+(p-1)x + p \right]}\) ma trzy różne pierwiastki?
\(\displaystyle{ W(x)=( x^{2} -4x+4) \left[ x ^{2}+(p-1)x + p \right]=(x-2)^{2}[x^{2}+(p-1)x+p]}\)
Wielomian W, jak narazie, ma jeden pierwiastek podwójny, czyli zadanie sprowadza się do pytania: dla jakich wartości parametru "p" wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=x^{2}+(p-1)x+p}\) ma dwa pierwiastki?
\(\displaystyle{ Q(x)=x^{2}+(p-1)x+p\\
\Delta>0}\)
bez tych "p", dla których Q(x) ma takie pierwiastki, że jeden z nich jest równy 2.
\(\displaystyle{ x^{2}=t; t \ge 0\\
mt^{2}-(m+1)t + 1=0\\
m \neq 0\\
\Delta >0\\
t_{1}+t_{2}>0\\
t_{1}t_{2}>0}\)
2) Dla jakich wartości parametru m, pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= ( x^{2} -4) (x-m)}\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny.
\(\displaystyle{ W(x)= ( x^{2} -4) (x-m)=(x-2)(x+2)(x-m)}\)
(m,-2,2) lub (-2,m,2) lub (-2,2,m) stąd: m=-6, m=0, m=6
3) Dla jakich wartości parametru p wielomian \(\displaystyle{ W(x)=( x^{2} -4x+4) \left[ x ^{2}+(p-1)x + p \right]}\) ma trzy różne pierwiastki?
\(\displaystyle{ W(x)=( x^{2} -4x+4) \left[ x ^{2}+(p-1)x + p \right]=(x-2)^{2}[x^{2}+(p-1)x+p]}\)
Wielomian W, jak narazie, ma jeden pierwiastek podwójny, czyli zadanie sprowadza się do pytania: dla jakich wartości parametru "p" wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=x^{2}+(p-1)x+p}\) ma dwa pierwiastki?
\(\displaystyle{ Q(x)=x^{2}+(p-1)x+p\\
\Delta>0}\)
bez tych "p", dla których Q(x) ma takie pierwiastki, że jeden z nich jest równy 2.
-
Szlomit
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 14 sty 2010, o 15:24
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
z parametrem
Witam zamieszczam dokładne wytłumaczenie kolei rzeczy w pierwszym 
1)musimy wpierw wyleminowac \(\displaystyle{ m=0}\) gdyż wtedy otrzymamy
\(\displaystyle{ -x^2+1=0}\) a to równanie ma tylko dwa rozwiązania, zatem
\(\displaystyle{ m x^{4} - (m+1) x^{2} + 1=0}\)
podstawmy \(\displaystyle{ x^2=t}\) zatem \(\displaystyle{ m t^{2} - (m+1)t + 1=0}\)
Wprowadzamy teraz założenia: interesuje nas rozwiązanie, które będzie wyglądać następująco
\(\displaystyle{ m(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0}\)
w wersji z parametrem t interesuje nas: \(\displaystyle{ m(t-t_{1})(t-t_{2})=0}\) jest to równoznaczne z \(\displaystyle{ m(x^{2}-t_{1})(x^{2}-t_{2})=0}\)
jeśli chcemy żeby równanie to mialo 4 rozwiązania, to \(\displaystyle{ (x^{2}-t_{1})}\) oraz \(\displaystyle{ (x^{2}-t_{2})}\) muszą dać się rozłożyć ze wzorów skróconego mnożenia o tak:
\(\displaystyle{ (x^{2}-t_{1})=(x-x_{1})(x-x_{2}) \hbox { oraz }(x^{2}-t_{2})=(x-x_{3})(x-x_{4})}\)
a jeśli mają się rozłożyć to \(\displaystyle{ t_{1}>0}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}>0}\)
zatem \(\displaystyle{ \begin{cases}\Delta>0\\t_{1}t_{2}>0\\t_{1}+t_{2}>0\end{cases}}\)
a dalej ze wzorów Viete'a
1)musimy wpierw wyleminowac \(\displaystyle{ m=0}\) gdyż wtedy otrzymamy
\(\displaystyle{ -x^2+1=0}\) a to równanie ma tylko dwa rozwiązania, zatem
\(\displaystyle{ m x^{4} - (m+1) x^{2} + 1=0}\)
podstawmy \(\displaystyle{ x^2=t}\) zatem \(\displaystyle{ m t^{2} - (m+1)t + 1=0}\)
Wprowadzamy teraz założenia: interesuje nas rozwiązanie, które będzie wyglądać następująco
\(\displaystyle{ m(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0}\)
w wersji z parametrem t interesuje nas: \(\displaystyle{ m(t-t_{1})(t-t_{2})=0}\) jest to równoznaczne z \(\displaystyle{ m(x^{2}-t_{1})(x^{2}-t_{2})=0}\)
jeśli chcemy żeby równanie to mialo 4 rozwiązania, to \(\displaystyle{ (x^{2}-t_{1})}\) oraz \(\displaystyle{ (x^{2}-t_{2})}\) muszą dać się rozłożyć ze wzorów skróconego mnożenia o tak:
\(\displaystyle{ (x^{2}-t_{1})=(x-x_{1})(x-x_{2}) \hbox { oraz }(x^{2}-t_{2})=(x-x_{3})(x-x_{4})}\)
a jeśli mają się rozłożyć to \(\displaystyle{ t_{1}>0}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}>0}\)
zatem \(\displaystyle{ \begin{cases}\Delta>0\\t_{1}t_{2}>0\\t_{1}+t_{2}>0\end{cases}}\)
a dalej ze wzorów Viete'a