Brak estremum

[matshadow]

Dla jakich wartości m funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{m-2}{5}x^5-\frac{2(m+3)}{3}x^3+(m+1)x}\) nie ma ekstremum?
Odpowiedź to \(\displaystyle{ m<-1}\), a mi wychodzi \(\displaystyle{ m<\frac{-11}{7}}\).
Oto mój tok:
\(\displaystyle{ f'(x)=(m-2)x^4-2(m+3)x^2+m+1\\t=x^2;t\ge 0\\g'(x)=(m-2)t^2-2(m+3)t+m+1}\)
Żeby nie było ekstremum, to \(\displaystyle{ \Delta <0}\)
\(\displaystyle{ 4(m+3)^2-4(m-2)(m+1)<0\\m^2+6m+9-(m^2-m-2)<0\\7m<-11\\m<\frac{-11}{7}}\)
Co robię źle?

[mkb]

Ponieważ założyłeś \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\) dochodzi możliwość: \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) i \(\displaystyle{ t_{2} \le 0}\).

[matshadow]

\(\displaystyle{ t_2=\frac{2(m+3)+\sqrt{7m+11}}{2(m-2)}<0}\)
\(\displaystyle{ [2(m+3)+\sqrt{7m+11} ] (m-2)<0}\)
Wyznaczam miejsca zerowe, ale coś chyba nie robię tego, o co ci chodzi
\(\displaystyle{ [2(m+3)+\sqrt{7m+11}}]=0\vee m=2\\7m+11=4(m+3)^2\\4m^2+17m+25=0 \Leftrightarrow m\in\emptyset}\)
Nie wiem jak dojść do tego, że \(\displaystyle{ m<-1}\)

[mkb]

Tyle że \(\displaystyle{ \Delta =4(7m+11)}\).

[matshadow]

Teraz wyszło, dzięki

[mkb]

Przeglądając jeszcze raz temat widzę, że obliczenia można uprościć. Przy warunku \(\displaystyle{ m \ge \frac{-11}{7}}\) muszą być dodatkowo równocześnie spełnione:
1) \(\displaystyle{ t _{1}+t _{2}=- \frac{b}{a}<0}\) (wierzchołek paraboli ma t ujemne, więc co najmniej jeden pierwiastek ujemny),
2) \(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2}= \frac{c}{a} \ge 0}\) (pierwiastki nie są po przeciwnych stronach zera).