Wykaż, że dla każdego x prawdziwa jest nierówność : \(\displaystyle{ x ^{12}-x ^{9}+x ^{4}-x+1>0}\)
Nierówność jest na pewno spełniona dla \(\displaystyle{ x \in R-(0,1)}\).Problemem jest wykazanie że jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\). W tym przypadku nie wiem jak to wykazać.
wielomian 12-go stopnia. Nierówność.
-
matshadow
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
wielomian 12-go stopnia. Nierówność.
Chyba wpadłem na pomysł.
Ponieważ \(\displaystyle{ x\in(0, 1)}\), to
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1>x \Rightarrow 1-x>0 \\ x^4>x^9 \Rightarrow x^4-x^9>0\\x^{12}>0 \end{cases}}\)
Po zsumowaniu stronami nierówności dostajemy, że
\(\displaystyle{ 1-x+x^4-x^9+x^{12}>0}\), czyli to, co mieliśmy udowodnić
Ponieważ \(\displaystyle{ x\in(0, 1)}\), to
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1>x \Rightarrow 1-x>0 \\ x^4>x^9 \Rightarrow x^4-x^9>0\\x^{12}>0 \end{cases}}\)
Po zsumowaniu stronami nierówności dostajemy, że
\(\displaystyle{ 1-x+x^4-x^9+x^{12}>0}\), czyli to, co mieliśmy udowodnić