Czy wielomian ma pierwiastki rzeczywiste ?

[alexandra]

Czy wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty
a) \(\displaystyle{ x^{7}+ 77x^{4}+ 123x^{3}+ 5555}\);
b) \(\displaystyle{ x^{10}+ 28x^{6}+ 888x^{4}-1}\) ?

[mol_ksiazkowy]

ad a( tak , bo deg=7. ad b) tak w przedzaile \(\displaystyle{ (0,1)}\)

[bisz]

zastanawiajace jest to czy przy rozkladzie drugiego wielomianu ciekawa cecha jest to ze wszystkie pierwiastki ukladaja sie wg pewnej reguly:

.18313948577988310405211397683852
.18323640806567920516628730740094*i
-.18313948577988310405211397683852
-.18323640806567920516628730740094*i

2.6886403932070218500052297928810+1.7048751145791890404072181947131*i
2.6886403932070218500052297928810-1.7048751145791890404072181947131*i
-2.6886403932070218500052297928810-1.7048751145791890404072181947131*i
-2.6886403932070218500052297928810+1.7048751145791890404072181947131*i

2.9401259335880359720528609238710*i
-2.9401259335880359720528609238710*i


sa takie same rzeczywiste jak zespolone niektore i 2 pary dwukrotnych... probowalem jakos zlozyc z nich czastkowe wielomiany ale wspolczynniki wychodzily malo ciekawe.

[Rogal]

Sprawa jest dość prosta. Opierając się na podstawowych twierdzeniach, wiemy, że każdy wielomian stopnia parzystego można rozłożyć na iloczyn wielomianów kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych. Z kolei jeżeli trójmian kwadratowy o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki zespolone, to są one sprzężone. No i można jeszcze zauważyć, że podstawiając t = x^2, otrzymujemy równanie piątego stopnia (które jak widać ma jeden pierwiastek dodatni, z którego wyciagając pierwiastek kwadratowy mamy te dwa rozwiązania rzeczywiste). A jeśli byśmy wyliczyli również te pierwiastki zespolone (które będą sprzeżone z zasady powyżej), to i pierwiastek kwadratowy z nich wyciągając otrzymamy dwa "takie same" tylko jeden z minusem.
A tak w ogóle to sprecyzuj, o co Ci chodzi, bo nie do końca wiem : )

[Fibik]

Nieparzysty zawsze ma przynajmniej 1.
A ten drugi to suma kwadratów minus 1, czyli też musi mieć - nawet dwa,
po przejściu na ujemne musi wrócić na plusy...