Czy wielomian jest podzielny ?

[alexandra]

Czy wielomian \(\displaystyle{ x^{15}- x^{3}}\) jest podzielny przez wielomian :
a) \(\displaystyle{ x^{2}- 1}\) ;
b) \(\displaystyle{ x^{2}+ 1}\) ;
c) \(\displaystyle{ x^{3}- 1}\) ;
d) \(\displaystyle{ x^{3}+ 1}\) ; Można to jakoś szybko sprawdzić, nie dzieląc jednego wielomianu przez drugi?

[Tristan]

\(\displaystyle{ W(x)=x^{15} - x^3}\)
a) \(\displaystyle{ P(x)= x^2-1=(x-1)(x+1)}\) . Badamy więc, czy 1 i -1 są pierwiastkami wielomianu W(x), bo jeśli tak, to wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x).
W tym wypadku mamy W(-1)=-1-(-1)=0 i W(1)=1-1=0, więc rzeczywiście wielomian W(x) jest podzielny przez P(x).
b) \(\displaystyle{ P(x)=x^2 +1}\). Zauważ, że wielomian P(x) nie ma żadnych pierwiastków, a ponieważ \(\displaystyle{ W(x)=x^{15}-x^3=x^3 ( x^{12}-1)=x^3 ( x^6- 1)(x^6+1)=x^3 (x^3-1)(x^3+1)(x^6+1) \\ =(x^3)(x^3-1)(x^3 +1)( (x^2)^3 +1^3) =(x^3)(x^3-1)(x^3 +1)(x^2 +1)(x^4 +x^2 +1)}\)
, czyli na pytanie b), c) i d) odpowiedź jest pozytywna.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ W(x)=x^15 - x^3=x^3(x^12-1)=x^3(x^6-1)(x^6+1)=x^3(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1) =x^3(x^3-1)(x^3+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\)

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ x^2+1 = (x-i)(x+i)}\), wystarczy wiec sprawdzic \(\displaystyle{ W(i)}\) oraz \(\displaystyle{ W(-i)}\).

[alexandra]

Ten wzór skóconego mnożenia który podałeś jest dla \(\displaystyle{ x^{2}- 1}\) !!!!!!!!

[ Dodano: 7 Lipiec 2006, 20:39 ]
Nie zgadza się \(\displaystyle{ (x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1)}\)

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ (x-i)(x+i) = x^2-i^2=x^2+1}\).

[alexandra]

Jesteś w błędzie, pokaże ci to na przykładzie \(\displaystyle{ (x - 2)(x + 2) = x^{2}+ 2x - 2x - 4 = x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2}}\)

[Tomasz Rużycki]

To Ty jestes w bledzie, poczytaj .

[Shvia]

Teoretycznie i można sprawdzać jako rozwiązanie, aczkolwiek mam wrażenie, że to zadanie ma być rozwiązywane w zbiorze liczb rzeczywistych tylko.

[o ile dobrze kojarzę, to pytanie z testu z egzaminu wstępnego na inf na UWr, więc siłą rzeczy tam liczb zespolonych uwzlędniać się nie da, bo nie ma ich w programie LO (przynajmniej tego czteroletniego)]

[Tomasz Rużycki]

Kto Ci zabroni z tego skorzystac? Twierdzenie Bezouta 'dziala' w tej ogolniejszej wersji...