Czy równanie ma rozwiązanie rzeczywiste ?

[alexandra]

Czy podane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste a) \(\displaystyle{ x^{5}}\)+ 2\(\displaystyle{ x^{4}}\)+ 3\(\displaystyle{ x^{3}}\)+ 4\(\displaystyle{ x^{2}}\)+ 5x + 6 = 0 b) \(\displaystyle{ x^{6}}\)+ 5\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 5 = 0 ?

[Tristan]

a) \(\displaystyle{ W(x)=x^5 +2x^4+3x^3+4x^2+5x+6}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ W(-2)=-120}\), więc na mocy ( przeczytaj uważnie drugi akapit), dane równanie ma rozwiązanie rzeczywiste.
b) Zauważ, że \(\displaystyle{ x^6=(x^2)^3}\), więc dla każdego rzeczywistego iksa będzie \(\displaystyle{ (x^2)^3 q 0}\), czyli tym bardziej \(\displaystyle{ (x^2)^3 +5x^2 q 0}\). Dlatego też \(\displaystyle{ x^6+5x^2 +5 q 5}\). Stąd już wynika, że równanie \(\displaystyle{ x^6+5x^2+5=0}\) nie posiada żadnych rzeczywistych rozwiązań.

[mol_ksiazkowy]

ad1. tak, albo wg Twi: każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek