2 zadania-wielomiany

Carl0s · Post autor: **Carl0s** » 28 cze 2006, o 10:17

1.Wykaz, ze dla kazdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierownosc:
\(\displaystyle{ x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1>0}\)

2. Dla jakich wartosci parametru m rownanie \(\displaystyle{ x^{3}-6x^{2}-m-5=0}\) jest spelnione przez dokladnie dwie rozne liczby rzeczywiste?

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 28 cze 2006, o 10:26

1)

\(\displaystyle{ x^4-x^3+x^2-x+1=\left(x^2-\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}-1\right)^2+\frac{x^2}{2} > 0}\), co konczy dowod.

2)

Ktorys z pierwiastkow musi byc podwojny, to Ci wystarczy.

jasny · Post autor: **jasny** » 28 cze 2006, o 10:36

2. Równanie typu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+c=0}\), \(\displaystyle{ b\neq0}\) ma zawsze trzy pierwiastki. Wykres takiego wielomianu posiada dwa ekstrema. Aby to równanie było spełnione przez dokładnie dwie różne liczby, jeden z pierwiastków musi być dwukrotny. Aby tak było, jedno ekstremum musi leżeć na osi OX. W tym przykładzie ekstrema są w punktach x=0 i x=4 (liczymy z pochodnej). f(0)=-m-5, f(4)=-m-37 (gdzie f(x) to nasza funkcja). Zatem m=-5 lub m=-37.

bolo · Post autor: **bolo** » 28 cze 2006, o 11:18

jasny pisze:2. Równanie typu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+c=0}\), \(\displaystyle{ b\neq0}\) ma zawsze trzy pierwiastki.

Trzy albo jeden.

Carl0s · Post autor: **Carl0s** » 28 cze 2006, o 11:43

ciasteczkowy potwor a na 1 jest jakis inny sposob??

jasny · Post autor: **jasny** » 28 cze 2006, o 12:02

bolo pisze:
jasny pisze:2. Równanie typu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+c=0}\), \(\displaystyle{ b\neq0}\) ma zawsze trzy pierwiastki.
Trzy albo jeden.

Kiedy ma jeden? (zapomniałem jeszcze o \(\displaystyle{ a\neq0}\))

juzef · Post autor: **juzef** » 28 cze 2006, o 12:05

Wtedy, gdy dwa z nich są zespolone nierzeczywiste.

bolo · Post autor: **bolo** » 28 cze 2006, o 12:08

Graficznie gdy obydwa ekstrema leżą nad, lub pod osią OX.

Przykład: \(\displaystyle{ f(x)=2x^{3}+4x^{2}+3}\)