ad1) Znależć wielomian możliwie najnizszego stopnia, o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
ad2*) \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
Jaki wielomian ?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11402
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Jaki wielomian ?
Jeśli wystąpił błąd w pisaniu i zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{3}}\) ma być \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{3}}\), to sprawa wygląda następująco:
Oczywiście wielomian stopnia pierwszego odpada, bo musiałby on wyglądać tak \(\displaystyle{ W(x)=x-( 2+ \sqrt{3})}\), czyli nie ma wszystkich współczynników całkowitych.
Dla wielomianu stopnia drugiego, dostajemy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^2+ax+b}\). Jeśli jednym z pierwiastków ma być \(\displaystyle{ x_{1}=2+ \sqrt{3}}\), to aby współczynniki a i b były całkowite, drugi pierwiastek musi być równy \(\displaystyle{ x_{2}=2- \sqrt{3}}\), co wynika wprost z wzorów Viete'a. Z tych samych wzorów mamy, że \(\displaystyle{ a=-(x_{1}+x_{2})=-4, b=x_{1}x_{2}=1}\), więc wielomian ten ma postać \(\displaystyle{ W(x)=x^2-4x+1}\).
Oczywiście wielomian stopnia pierwszego odpada, bo musiałby on wyglądać tak \(\displaystyle{ W(x)=x-( 2+ \sqrt{3})}\), czyli nie ma wszystkich współczynników całkowitych.
Dla wielomianu stopnia drugiego, dostajemy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^2+ax+b}\). Jeśli jednym z pierwiastków ma być \(\displaystyle{ x_{1}=2+ \sqrt{3}}\), to aby współczynniki a i b były całkowite, drugi pierwiastek musi być równy \(\displaystyle{ x_{2}=2- \sqrt{3}}\), co wynika wprost z wzorów Viete'a. Z tych samych wzorów mamy, że \(\displaystyle{ a=-(x_{1}+x_{2})=-4, b=x_{1}x_{2}=1}\), więc wielomian ten ma postać \(\displaystyle{ W(x)=x^2-4x+1}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11402
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Jaki wielomian ?
ok, ale nie ma błedu , wydaje się mi że o ile sie nie pomyliłem to wielomian jest dobry:
\(\displaystyle{ x^{4} -10x^{2} + 1}\)
Troszkę trudniej z ad2....
\(\displaystyle{ x^{4} -10x^{2} + 1}\)
Troszkę trudniej z ad2....
- juzef
- Użytkownik
- Posty: 890
- Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Pomógł: 66 razy
Jaki wielomian ?
Przecież wystarczy przesunąć ten wielomian o 1 w prawo.
\(\displaystyle{ x^4-4x^3-4x^2+16x-8}\).
\(\displaystyle{ x^4-4x^3-4x^2+16x-8}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11402
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Jaki wielomian ?
tyz prawda! ale w takim x, to nie jest to o co mi chodziło.....dajmy np.
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}\)
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Jaki wielomian ?
Wez sobie \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}}\), przenies jeden pierwiastek na lewa strone, podnies do kwadratu etc., dostaniesz w koncu wielomian osmego stopnia o wspolczynnikach calkowitych.