Jaki wielomian ?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Jaki wielomian ?

Post autor: mol_ksiazkowy »

ad1) Znależć wielomian możliwie najnizszego stopnia, o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)

ad2*) \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{2} + \sqrt{3}}\)
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Jaki wielomian ?

Post autor: Tristan »

Jeśli wystąpił błąd w pisaniu i zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \sqrt{3}}\) ma być \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{3}}\), to sprawa wygląda następująco:
Oczywiście wielomian stopnia pierwszego odpada, bo musiałby on wyglądać tak \(\displaystyle{ W(x)=x-( 2+ \sqrt{3})}\), czyli nie ma wszystkich współczynników całkowitych.
Dla wielomianu stopnia drugiego, dostajemy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^2+ax+b}\). Jeśli jednym z pierwiastków ma być \(\displaystyle{ x_{1}=2+ \sqrt{3}}\), to aby współczynniki a i b były całkowite, drugi pierwiastek musi być równy \(\displaystyle{ x_{2}=2- \sqrt{3}}\), co wynika wprost z wzorów Viete'a. Z tych samych wzorów mamy, że \(\displaystyle{ a=-(x_{1}+x_{2})=-4, b=x_{1}x_{2}=1}\), więc wielomian ten ma postać \(\displaystyle{ W(x)=x^2-4x+1}\).
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Jaki wielomian ?

Post autor: mol_ksiazkowy »

ok, ale nie ma błedu , wydaje się mi że o ile sie nie pomyliłem to wielomian jest dobry:
\(\displaystyle{ x^{4} -10x^{2} + 1}\)
Troszkę trudniej z ad2....
Awatar użytkownika
juzef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 890
Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Pomógł: 66 razy

Jaki wielomian ?

Post autor: juzef »

Przecież wystarczy przesunąć ten wielomian o 1 w prawo.
\(\displaystyle{ x^4-4x^3-4x^2+16x-8}\).
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Jaki wielomian ?

Post autor: mol_ksiazkowy »

tyz prawda! ale w takim x, to nie jest to o co mi chodziło.....dajmy np.
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}\)
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Jaki wielomian ?

Post autor: Tomasz Rużycki »

Wez sobie \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{3}}\), przenies jeden pierwiastek na lewa strone, podnies do kwadratu etc., dostaniesz w koncu wielomian osmego stopnia o wspolczynnikach calkowitych.
ODPOWIEDZ