Rozłóż wielomian na czynniki

[koper21]

Witam

Mam problem z kilkoma przykładami z zadania: Rozłóż wielomian na czynniki (skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia).

\(\displaystyle{ (3x+1)^{2}-x^{2}}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{3}-8}\)

\(\displaystyle{ 9x^{2}(x+2)^{2}-x^{2}}\)

\(\displaystyle{ (2x+1)^{2}-2(2x+1)+1}\)

Proszę o szczegółowe ich rozpisanie, ponieważ chcę zrozumieć sposób rozwiązania owych przykładów.

Z góry dziękuje

[TheBill]

Nie widzisz wzorów skróconego mnożenia? Nie wiesz który zastosować? Czy może wiesz który, ale nie potrafisz przekształcić?
(Spróbuj sam) Do pierwszego zastosuj różnice kwadratów.

[koper21]

w pierwszym trzeba zastosować wzór:

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)}\)

lecz \(\displaystyle{ (3x+1)^{2}}\) komplikuje sprawę, a rozłożenie mi jego na postać \(\displaystyle{ 3x^{2}+6x+1}\) za bardzo nic nie daje.

w drugim podobnie, lecz z wzorem:

\(\displaystyle{ a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}\)

i wychodzi mi \(\displaystyle{ (x-1)^{3}-(2)^{3}}\), ale co dalej to nie wiem

dwa ostatnie za bardzo nie wiem, jak zacząć.

[TheBill]

Czyli wzory widzisz
Co do pierwszego, nie powienienś podnosić tego do kwadratu
\(\displaystyle{ a=3x+1}\)
\(\displaystyle{ b = x}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ (3x+1+x)(3x+1-x)=(4x+1)(2x+1)}\)
Reszta podobnie

EDIT: Zobacz też tutaj: 166774.htm

[koper21]

hmm, nie wiedziałem o tym, że można przekształcić ten wzór tak:

\(\displaystyle{ (a_{1}+a_{2}+b)(a_{1}+a_{2}-b) = (a_{1}+{a_{2})-b}\)

ale teraz w drugim przykładzie trochę trudniej to wygląda z powodu skomplikowanej bardziej budowy tych nawiasów z wzoru.

[TheBill]

To co wyżej napisałeś, jest fałszem, to nie wzór skróconego mnożenia.

\(\displaystyle{ 9x^{2}(x+2)^{2}-x^{2}=[9x(x+2)]^{2}-x^{2}}\)
I ten sam sposób co pokazałem wyżej.

\(\displaystyle{ (2x+1)^{2}-2(2x+1)+1}\)
Tutaj jest wzór "kwadrat różnicy"

[slawekstudia6]

\(\displaystyle{ a^{3}-b^{3} = (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}\)

\(\displaystyle{ (x-1)^{3}-8=(x-1-2)((x-1)^2+2(x-1)+4)=(x-3)(x^2+4)}\)

[koper21]

Może to nie wzór, ale za pomocą tego zrobiłeś zadanie, choć trochę mogłem to nie prawidłowo zapisać.

ale mam kolejne ALE:

w trzecim:

\(\displaystyle{ [9x(x+2)]^{2} - x^{2}}\)

czy trzeba mnożyć 9x przez nawias? bo wchodzi mi takie coś:

\(\displaystyle{ [9x(x+2)+x][9x(x+2)-x]}\)

a w czwartym dochodzę do:

\(\displaystyle{ (2x+1)^{2} (-4x+1) (1)}\)

lecz prawdopodobnie jest to źle ...

[TheBill]

\(\displaystyle{ (2x+1)^{2}-2(2x+1)+1=(2x+1)^{2}-2 \cdot 1 \cdot (2x+1)+1}\)
Kwadrat różnicy. \(\displaystyle{ a = 2x+1}\) oraz \(\displaystyle{ b = 1}\) Teraz widać?

[koper21]

Szczerze to nie łapie o co chodzi ;/ jedyne co rzuca mi się w oczy to dwa takie same nawiasy nawiasy: \(\displaystyle{ (2x+1)}\)

Możesz to rozpisać, jak dla chłopa?

[TheBill]

\(\displaystyle{ (2x+1)^{2}-2(2x+1)+1=(2x+1)^{2}-2 \cdot 1 \cdot (2x+1)+1}\)
Zauważam, że można skorzystać ze wzoru na kwadrat różnicy.
Wstawiam za \(\displaystyle{ a = 2x+1}\) oraz za \(\displaystyle{ b = 1}\), mamy:
\(\displaystyle{ a^{2}-2a \cdot b+b}\)
\(\displaystyle{ b=1}\) wieć powyższy zapis moge przekształcić do:
\(\displaystyle{ a^{2}-2a \cdot b+b ^{2}}\)
Co z kolei jest równe
\(\displaystyle{ a^{2}-2a \cdot b+b ^{2} = (a-b) ^{2}}\)
Wracam z powrotem do podstawiania za \(\displaystyle{ a = 2x+1}\) oraz za \(\displaystyle{ b = 1}\), mamy:
\(\displaystyle{ (2x+1-1) ^{2}}\)
Więc: \(\displaystyle{ (2x+1-1) ^{2}=(2x) ^{2} = 4x ^{2}}\)
To na chłopski rozum , a można było od razu zapisać:
\(\displaystyle{ (2x+1)^{2}-2(2x+1)+1=(2x+1-1) ^{2}=4x ^{2}}\)

[koper21]

Z tym twoim rozpisem, to wcale inaczej patrze na ten przykład dziękować Very Much.

Napisz, tylko jak zrobić jeszcze krok do przodu z ostatnim, nie rozwiązanym przykładem, a będę szczęśliwy.

\(\displaystyle{ 9x^{2}(x+2)^{2}-x^{2}}\)

\(\displaystyle{ [9x(x+2)]^{2}-[x]^{2}}\)

i teraz z to 9 i na nawiasem za bardzo nie wiem co z robić. .

[TheBill]

w trzecim:

\(\displaystyle{ [9x(x+2)]^{2} - x^{2}}\)

czy trzeba mnożyć 9x przez nawias? bo wchodzi mi takie coś:

\(\displaystyle{ [9x(x+2)+x][9x(x+2)-x]}\)

To jest dobrze, tak, możesz to wymnożyć, potem dodaj/odejmij \(\displaystyle{ x}\) i gotowe
A wydawało mi sie, że odpisałem Ci na to pytanie

[piasek101]

\(\displaystyle{ 9x^{2}(x+2)^{2}-x^{2}=[9x(x+2)]^{2}-x^{2}}\)

Z małą poprawką do tego przykładu :

\(\displaystyle{ 9x^2(x+2)^2=[3x(x+2)]^2}\)

[slawekstudia6]

\(\displaystyle{ [9x(x+2)]^{2} - x^{2}=[9x(x+2)+x][9x(x+2)-x]=
x^2(9x+ 19)(9x-17)}\)