Równanie wielomianowe

[C@rn@ge]

Witam. Prosiłbym o pomoc w rozpisaniu tego wielomianu tak aby otrzymać postać iloczynową a następnie wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\). Oto wielomian:

\(\displaystyle{ 16x^{3}-28x ^{2}+4x+3=0}\).

Wiem że mogę to rozwiązać wyznaczając dzielniki wyrazu wolnego i współczynnika przy największej potędze i potem spr. czy są równe zero, ale chciałbym zobaczyć też ten sposób w którym trzeba coś zauważyć i rozpisać.

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ 0=16x^{3}-28x ^{2}+4x+3=16x^3-24x^2-4x^2+4x+3=8x^2(2x-3)-4x^2+6x-2x+3=8x^2(2x-3)-2x(2x-3)-(2x-3)=(2x-3)(8x^2-2x-1)=(2x-3)(8x^2-4x+2x-1)=(2x-3)[4x(2x-1)+(2x-1)]=(2x-3)(2x-1)(4x+1)}\)

[C@rn@ge]

Bardzo dziękuje za pomoc i proszę o jeszcze jedną radę

Mam problem jeszcze z takim równaniem wielomianowym:

\(\displaystyle{ (x^{2}+2x) ^{2}-(x+1) ^{2}=55}\)

[TheBill]

Zastosuj wzór na różnice kwadratów \(\displaystyle{ (a=x ^{2} +2x \wedge b=x+1)}\). Wtedy będziesz miał dwa nawiasy. I rozpisujesz to na układy, w których pierwszy nawias jest równy 1, drugi równy 55.
Lub pierwszy jest równy 5, drugi 11. I na odwrót

[lukasz1804]

Zastosuj wzór na różnice kwadratów \(\displaystyle{ (a=x ^{2} +2x \wedge b=x+1)}\). (...) I rozpisujesz to na układy, w których pierwszy nawias jest równy 1, drugi równy 55.
Lub pierwszy jest równy 5, drugi 11. I na odwrót

Dlaczego, TheBill, zakładasz, że wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+2x, x+1}\) mają wartość całkowitą?

Rozbić lewą stronę równania na iloczyn można, ale to nie ułatwia rozwiązania.
Trzeba ją natomiast zamienić na sumę algebraiczną. Mamy \(\displaystyle{ x^4+4x^3+4x^2-x^2-2x-1=55}\), skąd \(\displaystyle{ x^4+4x^3+3x^2-2x-56=0}\). Teraz trzeba poszukiwać całkowitych pierwiastków otrzymanego równania, korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Jeśli uda się znaleźć choćby jeden, trzeba dzielić wielomian przez dwumian odpowiadający znalezionemu pierwiastkowi.

[TheBill]

Fakt, coś mi sie przywidziało...