Równanie wielomianowe

parzol · Post autor: **parzol** » 22 cze 2006, o 19:11

\(\displaystyle{ x^5 - x^2 + 2x - 1 = 0}\)

Ma ktoś jakiś pomysł ?? ??:

Tristan · Post autor: **Tristan** » 22 cze 2006, o 19:21

Zmieniłem temat, poprawiłem posta i przeniosłem do odpowiedniego działu...
Jedyny pomysł, jaki przychodzi mi do głowy:
\(\displaystyle{ x^5-x^2+2x-1=0}\)
\(\displaystyle{ x^5-(x^2-2x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{ \frac{5}{2} })^2-(x-1)^2=0}\)
\(\displaystyle{ (x^{\frac{5}{2}} -x+1)(x^{\frac{5}{2}} +x-1)=0}\)
Tak czy inaczej pierwiastek jest jeden i jeśli da się go wyliczyć, to jedynie z tego drugiego nawiasu, a w przybliżeniu wynosi on 0,66.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 27 cze 2006, o 16:36

no własnie, przy \(\displaystyle{ x=t^{2}}\), sprowadza się problem do rozkłądu wielomianu:
\(\displaystyle{ t^{5} + t^{2}-1}\)
mozesz bawić sie, np:
\(\displaystyle{ t^{5} + t^{2}-1 = (t^{3} + at^{2}+bt +1)( t^{2}+ct -1)}\)

Tristan · Post autor: **Tristan** » 29 cze 2006, o 02:09

Po takiej zabawie doszedłem do 4 rozwiązań możliwych i po sprawdzeniu, żadne nie okazało się prawdziwe

Rogal · Post autor: **Rogal** » 29 cze 2006, o 12:30

No bo niestety w nawiasach jedynek nie będzie. Smutna sprawa, ale są takie wielomiany, których rozkład nie śnił się nawet filozofom ; p

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 1 lip 2006, o 14:21

no niestety, troszke to bardziej zlozone...

bisz · Post autor: **bisz** » 3 lip 2006, o 22:01

Tristan jak wygladał twoj uklad rownan ?

Tristan · Post autor: **Tristan** » 3 lip 2006, o 23:35

Jednym z przypadków było: \(\displaystyle{ t^5+t^2 -1=(t^3+at^2+bt+1)(t^2+ct-1)}\). Wymnażając to co w nawias po prawej stronie otrzymuję \(\displaystyle{ t^5+t^2-1=t^5+(a+c)t^4 +(ac+b-1)t^3+(bc+1-a)t^2+(c-b)t-1}\), czyli układ to:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}a+c=0 \\ ac+b-1=0\\ bc+1-a=1 \\ c-b=0 \end{array}}\)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 4 lip 2006, o 11:20

tak, ale to prowadzi do \(\displaystyle{ c^{2}=a=-c}\), tj \(\displaystyle{ c=-1}\) lub \(\displaystyle{ c=0}\), co jest nie ok, musi byc \(\displaystyle{ t^{5}+t^{2}-1=(t^{3}+at^{2}+bt+ )(t^{2}+ct-\frac{1}{\alpha})}\)

Rogal · Post autor: **Rogal** » 4 lip 2006, o 12:00

Cóż, moje zdanie głosi, że w pierwszym poście jest pomyłka i powinna być czwarta potęga.
Natomiast już taka postać jest bardzo twórcza i rozwijająca, bo aktualnie z tego nowego układu doszedlem do równania dziesiątego stopnia : )
Trochu za dużo (conajmniej dwa razy, z samej teorii wielomianów), także trza coś pokombinować ; )

[ Dodano: Wto Lip 04, 2006 12:19 pm ]
Heh, pomyliłem się w znaku : ). Aktualnie, hihi, t = a^2, jeśli się to komuś przyda : )

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 6 lip 2006, o 02:45

Rogal napisał:

Heh, pomyliłem się w znaku : ). Aktualnie, hihi, t = a^2, jeśli się to komuś przyda : )

nie bardzo rozumiem....

Rogal · Post autor: **Rogal** » 6 lip 2006, o 11:26

Nie ma co wiele rozumieć - pierwiastek tego równania, t, jest równy kwadratowi pierwszego wspołczynnika w nawiasie, czyli a.

bisz · Post autor: **bisz** » 6 lip 2006, o 15:03

>> [a,b,c,d]=solve('a+c=0','a*c-1/d+b=0','-a/d+d+b*c=1','-b/d+d*c')

a =

-.60546901363201847461863253224491e-1+.38826940659974035535730939705013*i
-.40436530023969600686927726325568-1.4597432468700097646034590783673*i
-.40436530023969600686927726325569-.68320443367052905388884028426718*i
1.2736428020822898680696950429921+1.0714738402702694092461496813172*i
.92982440320579570866228103296163
-1.7385550036851877224008355594736
1.2736428020822898680696950429921-1.0714738402702694092461496813172*i
-.40436530023969600686927726325569+.68320443367052905388884028426718*i
-.40436530023969600686927726325568+1.4597432468700097646034590783673*i
-.60546901363201847461863253224491e-1-.38826940659974035535730939705013*i

b =

.55592411121175752534805699009086-.3610223692746720135581949645157*i
-1.1471808214102688839676322023308+.42964211406442614345617633567736*i
-.31513979711250391455218062668898-.55939095590461633037252499892638*i
.98121072940000456693738603462099e-1+1.8628162063196604738296105640139*i
-.49962612478575818888998757167027
2.1161769935277878218460220426044
.98121072940000456693738603462099e-1-1.8628162063196604738296105640139*i
-.31513979711250391455218062668898+.55939095590461633037252499892638*i
-1.1471808214102688839676322023308-.42964211406442614345617633567736*i
.55592411121175752534805699009086+.3610223692746720135581949645157*i

c =

.60546901363201847461863253224491e-1-.38826940659974035535730939705013*i
.40436530023969600686927726325568+1.4597432468700097646034590783673*i
.40436530023969600686927726325569+.68320443367052905388884028426718*i
-1.2736428020822898680696950429921-1.0714738402702694092461496813172*i
-.92982440320579570866228103296163
1.7385550036851877224008355594736
-1.2736428020822898680696950429921+1.0714738402702694092461496813172*i
.40436530023969600686927726325569-.68320443367052905388884028426718*i
.40436530023969600686927726325568-1.4597432468700097646034590783673*i
.60546901363201847461863253224491e-1+.38826940659974035535730939705013*i

d =

1.1858679729989940925149310660597+.52967694804705846124013067812819*i
.66328705729771604390160867748167+.60727331581482185811476286319976*i
-.96099799061038206239262493853147e-2+.89924315330482016105413908326348*i
-.42139479573914121162594828443493+.97118014649609285761771169677145*i
-.73303059163006101536677807483880
-1.1032699176728691929665523446034
-.42139479573914121162594828443493-.97118014649609285761771169677145*i
-.96099799061038206239262493853147e-2-.89924315330482016105413908326348*i
.66328705729771604390160867748167-.60727331581482185811476286319976*i
1.1858679729989940925149310660597-.52967694804705846124013067812819*i

>>

tak to wyglada numerycznie

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 6 lip 2006, o 15:07

o rany.....to juz chyba lepiej graficznie?!

Rogal · Post autor: **Rogal** » 11 lip 2006, o 00:28

Numerycznie to wygląda dość dziwnie, natomiast cosik wyszło algebraicznie, ale nie mam siły tego sprawdzić. Jak ktoś ma porządny program, to byłoby dobrze, gdyby się z tym pobawił ; )
Żeby nie było wątpliwości, mamy układ:
d+a=0
e+ad+b=0
ae+bd+c=1
be+cd=0
ce=-1

I wyniki wyszły mniej więcej tak (mam dwie wersje, będą pisał tak: (+/-), i znaki bierzemy konsekwentnie - jak górne to górne):

\(\displaystyle{ a=-\sqrt[5]{\frac{7 (+/-) 3 \sqrt{5}}{2}} \\ d = \sqrt[5]{\frac{7 (+/-) 3 \sqrt{5}}{2}} \\ c = -\sqrt[5]{\frac{(7 (+/-) 3 \sqrt{5})^{3}}{8}} (2 (-/+) \sqrt{5}) \\ e = \sqrt[5]{\frac{(7 (+/-) 3\sqrt{5})^{2}}{4}} \frac{1 (-/+) \sqrt{5}}{2} \\ b = \sqrt[5]{\frac{(7 (+/-) 3 \sqrt{5})^{2}}{4}} \frac{3 (-/+) \sqrt{5}}{2}}\)

Gdyby nie ta późna dla mnie godzina, to pewno bym to powstawiał do początkowego układu i szukał później błędu, a tak chodzi mi o to, byście zrobili to za mnie ; )

[ Dodano: Wto Lip 11, 2006 2:08 pm ]
Hehe, późno było. Wyszło na to, że rozwiązałem zupełnie inny układ, choć od pierwotnego się wiele nie różnił, poza tym, że był znacznie prostszy. Natomiast wyniki wyszły nietęgie, bo się pomyliłem w znaku przy dzieleniu przez minus. Aktualnie nie mam pomysłu, jak zredukować rozwiązywanie tego równania piątego stopnia do równania czwartego, bo dać się powinno (chociaż nie wiadomo, jak jest tu ktoś, kto zna teorię grup pana Galois, to niech się wypowie, czy pierwiastki tego równania się wyrażają przez pierwiastniki)