Witam!
Czy istnieje jakiś sposób na określenie czy wielomian ma pierwiastki wielokrotne (bez liczenia ich)?
Chodzi mi dokładnie o wielomian: \(\displaystyle{ W(x)=-x^{6}+31x^{4}+64x^{3}-31x^{2}+1}\)
Chciałbym zastosować dla tego wielomianu twierdzenie Sturma, ale aby to móc zrobić muszę mieć pewność że dany wielomian nie ma pierwiastków wielokrotnych.
Jak określić krotność danego (obliczonego) pierwiastka za pomocą pochodnej to wiem, ale to niestety nie znajdzie tu zastosowania, ponieważ do twierdzenia Sturma muszę mieć pewność że wielomian W nie ma żadnych rzeczywistych pierwiastków wielokrotnych (nie jest mi potrzebna krotność danego pierwiastka) ale z tego sposobu wynika jedna własność: Jeśli mój wielomian \(\displaystyle{ W}\) i jego pochodna będą względnie pierwsze, to będzie to oznaczać że wielomian \(\displaystyle{ W}\) nie ma pierwiastków wielokrotnych. Niestety nie potrafię także udowodnić, że ta zależność jest spełniona.
Z góry dziękuję za wszystkie podpowiedzi dotyczące dowodu, że wielomian \(\displaystyle{ W}\) nie ma pierwiastków wielokrotnych.
P.S: jak policzył mi program komputerowy wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma same pierwiastki urojone Edit: w rozpatrywanym przeze mnie przedziale \(\displaystyle{ (x\in(0,\frac{\Pi}{4})}\), ale muszę przedstawić na to dowód i chciałem to zrobić właśnie za pomocą twierdzenia Sturma.
Pozdrawiam