Nieróeności wielomianowe - nie do końca rozumiem.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
wojtek.gb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 2 sty 2010, o 23:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: POLSKA :)
Podziękował: 2 razy

Nieróeności wielomianowe - nie do końca rozumiem.

Post autor: wojtek.gb »

Witam,

liczę zadania dot. nierówności wielomianowych, niestety nie mogę zrozumieć w jaki sposób policzyć niektóre przykłady, i tak:

a) rozumiem bez problemu:
1. \(\displaystyle{ x^{4} \leqslant 8x^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ (x^{2}+x-2)(2x^{2}-3x+1) \geqslant 0}\)

b) niestety nie wiem jak wyliczyć miejsca zerowe
1. \(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}+24 \geqslant 12(x^{2}-1)}\)
2. \(\displaystyle{ x^{4}-x^{3}-2x-4 \leqslant 0}\)
3. \(\displaystyle{ -x^{3}+2x^{2}+4x \geqslant 3}\)
Jak widać nie radzę sobie z przykładami gdzie występuje wyraz (wolny, tak?) bez x'a.

Za każde wytłumaczenie przykładów z podpunktu b będę bardzo wdzięczny.
Awatar użytkownika
Mortify
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 768
Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 164 razy

Nieróeności wielomianowe - nie do końca rozumiem.

Post autor: Mortify »

A znasz twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Nieróeności wielomianowe - nie do końca rozumiem.

Post autor: Crizz »

Jeśli po redukcji wyrazów podobnych i przerzuceniu wszystkiego na jedną stronę zostaje ci wielomian postaci \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c}\), to pierwiastki znajdujesz ze wzoru \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Jeśli po redukcji wyrazów podobnych (...) zostaje ci \(\displaystyle{ ax^{4}+bx^{2}+c}\), to podstawiasz \(\displaystyle{ t=x^{2}}\), znajdujesz pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\) wielomianu \(\displaystyle{ at^{2}+bt+c}\), a następnie w celu wyznaczenia pierwiastów wyjściowego wielomianu, rozwiązujesz dwa dodatkowe równania kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2}=t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}=t_{2}}\).

Jeśli dostajesz inną postać wielomianu, to musisz zgadywać pierwiastki (przynajmniej jeden),a następnie ROBOCZO podzielić sobie otrzymany wielomian przez \(\displaystyle{ x-x_{1}}\) (wtedy zwykle da się go już rozwiązać jedną z powyższych metod, albo znowu zgadujesz do skutku). Możesz sobie pomóc twierdzeniem, którre zasugerował Mortify: jeśłi wielomian ma pierwiastki wymierne, to sa one postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a \(\displaystyle{ b}\) jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze (czasem korzystnie jest zaczynać szukać rozwiązań całkowitych, bo takie przykłady zwykle nie są aż tak skomplikowane, żeby ich rozwiązaniem był ułamek).
ODPOWIEDZ