Witam,
liczę zadania dot. nierówności wielomianowych, niestety nie mogę zrozumieć w jaki sposób policzyć niektóre przykłady, i tak:
a) rozumiem bez problemu:
1. \(\displaystyle{ x^{4} \leqslant 8x^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ (x^{2}+x-2)(2x^{2}-3x+1) \geqslant 0}\)
b) niestety nie wiem jak wyliczyć miejsca zerowe
1. \(\displaystyle{ x^{4}-x^{2}+24 \geqslant 12(x^{2}-1)}\)
2. \(\displaystyle{ x^{4}-x^{3}-2x-4 \leqslant 0}\)
3. \(\displaystyle{ -x^{3}+2x^{2}+4x \geqslant 3}\)
Jak widać nie radzę sobie z przykładami gdzie występuje wyraz (wolny, tak?) bez x'a.
Za każde wytłumaczenie przykładów z podpunktu b będę bardzo wdzięczny.
Nieróeności wielomianowe - nie do końca rozumiem.
- Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Nieróeności wielomianowe - nie do końca rozumiem.
A znasz twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych?
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Nieróeności wielomianowe - nie do końca rozumiem.
Jeśli po redukcji wyrazów podobnych i przerzuceniu wszystkiego na jedną stronę zostaje ci wielomian postaci \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c}\), to pierwiastki znajdujesz ze wzoru \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
Jeśli po redukcji wyrazów podobnych (...) zostaje ci \(\displaystyle{ ax^{4}+bx^{2}+c}\), to podstawiasz \(\displaystyle{ t=x^{2}}\), znajdujesz pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\) wielomianu \(\displaystyle{ at^{2}+bt+c}\), a następnie w celu wyznaczenia pierwiastów wyjściowego wielomianu, rozwiązujesz dwa dodatkowe równania kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2}=t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}=t_{2}}\).
Jeśli dostajesz inną postać wielomianu, to musisz zgadywać pierwiastki (przynajmniej jeden),a następnie ROBOCZO podzielić sobie otrzymany wielomian przez \(\displaystyle{ x-x_{1}}\) (wtedy zwykle da się go już rozwiązać jedną z powyższych metod, albo znowu zgadujesz do skutku). Możesz sobie pomóc twierdzeniem, którre zasugerował Mortify: jeśłi wielomian ma pierwiastki wymierne, to sa one postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a \(\displaystyle{ b}\) jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze (czasem korzystnie jest zaczynać szukać rozwiązań całkowitych, bo takie przykłady zwykle nie są aż tak skomplikowane, żeby ich rozwiązaniem był ułamek).
Jeśli po redukcji wyrazów podobnych (...) zostaje ci \(\displaystyle{ ax^{4}+bx^{2}+c}\), to podstawiasz \(\displaystyle{ t=x^{2}}\), znajdujesz pierwiastki \(\displaystyle{ t_{1},t_{2}}\) wielomianu \(\displaystyle{ at^{2}+bt+c}\), a następnie w celu wyznaczenia pierwiastów wyjściowego wielomianu, rozwiązujesz dwa dodatkowe równania kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2}=t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}=t_{2}}\).
Jeśli dostajesz inną postać wielomianu, to musisz zgadywać pierwiastki (przynajmniej jeden),a następnie ROBOCZO podzielić sobie otrzymany wielomian przez \(\displaystyle{ x-x_{1}}\) (wtedy zwykle da się go już rozwiązać jedną z powyższych metod, albo znowu zgadujesz do skutku). Możesz sobie pomóc twierdzeniem, którre zasugerował Mortify: jeśłi wielomian ma pierwiastki wymierne, to sa one postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a \(\displaystyle{ b}\) jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze (czasem korzystnie jest zaczynać szukać rozwiązań całkowitych, bo takie przykłady zwykle nie są aż tak skomplikowane, żeby ich rozwiązaniem był ułamek).