dwumian Newtona przykład

[mikolaj89]

Proszę o pomoc:
Wyznaczyć spółczynnik stojący przy:
a)\(\displaystyle{ a^{5}}\) w rozwinięciu dwumianowym \(\displaystyle{ \left(a^{3}-\frac{1}{a^{2}}\right)^{15}}\)
b)\(\displaystyle{ \sqrt[4]{b}}\) w rozwinięciu dwumianowym \(\displaystyle{ \left(\sqrt[4]{b^{5}}-\frac{3}{b^{3}}\right)^{7}}\)

[Dasio11]

a) Można to pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{a^{30}}{a^{30}}}\), czyli \(\displaystyle{ \left(a^{3}-\frac{1}{a^{2}}\right)^{15}=\frac{ \left(a^5-1 \right)^{15}}{a^{30}}}\)
b) podobnie.

[mikolaj89]

Nie trzeba tutaj zastosować rozwinięcia dwumianowego?

[Dasio11]

Trzeba, ale jak to sobie tak pomnożyć to jest prościej, bo teraz widać chyba co będzie stało przy \(\displaystyle{ a^5}\)...
Teraz w mianowniku masz \(\displaystyle{ a^{30}}\), więc żeby wyszło \(\displaystyle{ a^5}\) w liczniku musisz znaleźć \(\displaystyle{ a^{35}}\) i po skróceniu wyjdzie co trzeba. Wzór znasz:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{15} \green {15 \choose k} \black \left( a^5 \right)^k \cdot 1^{15-k}}\)

dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) otrzymamy \(\displaystyle{ a^{35}}\)? Ile wtedy będzie wynosił współczynnik?

Dla porównania, tu masz metodę bez mnożenia:

\(\displaystyle{ \left( a^3 + \frac{1}{a^2} \right)^{15}= \sum_{k=1}^{15} {15 \choose k} \left( a^3 \right)^{k} \cdot \left( \frac{1}{a^2} \right)^{15-k} = \sum_{k=1}^{15} {15 \choose k} \frac{ a^{3k} }{a^{30-2k}}}\)