(3 zadania) Jaki jest stopień wielomianu ? Współczynniki

[basia]

1) Jaki jest stopien wielomianu: \(\displaystyle{ \left( x+1 \right) \left( x^2+1 \right) \left( x^4+1 \right) \ldots \left( x^{2n}+1 \right)}\)?
2) Wyznacz wspolczynniki przy \(\displaystyle{ x^{10}}\) i \(\displaystyle{ x^9}\) w wielomianie \(\displaystyle{ \left( x-1 \right) \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) \ldots \left( x-10 \right)}\)
3) Wyznacz sume wspolczynnikow wielomianu: \(\displaystyle{ 3 \left( \left( x^3-3x+3 \right) ^{2002} \right) -4 \left( \left( x^3+2x^2-4 \right) ^{2003} \right)}\)

z gory dziekuje za pomoc

[Skrzypu]

zad 1

Stopień tego wielomianu to suma \(\displaystyle{ 1+2+4+\ldots+2n=4n-1}\)


zad 2

Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{10}}\) będzie równy 1, ponieważ będzie to wielomian 10 stopnia, a przy \(\displaystyle{ x}\) zawsze współczynnik wynosi 1
Przy x^9 współczynnik będzie równy sumie wyrazów wolnych wszystkich dwumianów czyli \(\displaystyle{ -1+(-2)+(-3)+\ldots+(-10)=-55}\)


zad 3

Możemy pominąc wszystkie x, ponieważ nie wpływa to na sumę współczynników

\(\displaystyle{ 3 \left( \left( x^3-3x+3 \right) ^{2002} \right) -4 \left( \left( x^3+2x^2-4 \right) ^{2003} \right) \\
3 \left( \left( 1-3+3 \right) ^{2002} \right) -4 \left( \left( 1+2-4 \right) ^{2003} \right) =3 \cdot 1^{2002}-4 \cdot \left( -1 \right) ^{2003}=3+4=7}\)

[basia]

dziekuje za pomoc
co do pierwszego, to w odpowiedziach mam: \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1}\) ale w tej ksiazce jest duzo bledow wiec moze zrobiles dobrze

[chlip]

Skrzypu napisał

\(\displaystyle{ 1+2+4+\ldots+2n=4n-1}\)

dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy
\(\displaystyle{ 1+2+4+6+8=2115=4 \cdot 4-1}\)
Basia napisała

w odpowiedziach mam: \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1}\)

dla \(\displaystyle{ n=4}\)
\(\displaystyle{ 1+2+4+6+8=2131=2^5-1}\)

moim zdaniem powinno być:
\(\displaystyle{ 1+2+4+\ldots+2n=(n+1)n+1}\)

[Skrzypu]

Skrzypu napisał

\(\displaystyle{ 1+2+4+\ldots+2n=4n-1}\)

dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy
\(\displaystyle{ 1+2+4+6+8=2115=4 \cdot 4-1}\)
Basia napisała

w odpowiedziach mam: \(\displaystyle{ 2^{n+1}-}\)1

dla \(\displaystyle{ n=4}\)
\(\displaystyle{ 1+2+4+6+8=2131=2^5-1}\)

moim zdaniem powinno być:
\(\displaystyle{ 1+2+4+\ldots+2n=(n+1)n+1}\)

No tak, bo wydawało mi się że ciąg jest taki \(\displaystyle{ 1+2+4+8+16+32+64+\ldots}\)

ale się myliłem

[kamil13151]

W pierwszym będzie: \(\displaystyle{ 1+2+4+...+2n=n^2+n+1}\)

Przy \(\displaystyle{ x^9}\) współczynnik będzie równy sumie wyrazów wolnych wszystkich dwumianów czyli \(\displaystyle{ -1+(-2)+(-3)+...+(-10)=-55}\)

Mógłby ktoś wyjaśnić dlaczego? Podać jakiś dowód?

[Vax]

W pierwszym będzie: \(\displaystyle{ 1+2+4+...+2n=n^2+n+1}\)

Przy \(\displaystyle{ x^9}\) współczynnik będzie równy sumie wyrazów wolnych wszystkich dwumianów czyli \(\displaystyle{ -1+(-2)+(-3)+...+(-10)=-55}\)

Mógłby ktoś wyjaśnić dlaczego? Podać jakiś dowód?

Wzory Viete'a

[kamil13151]

Fakt! Dziękuje .