dowód na pierwiastek wielomianu

kata189 · Post autor: **kata189** » 30 gru 2009, o 00:25

Wykaż, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = x ^{3} +ax +b}\) ma pierwiastek podwójny to \(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b ^{2} = 0}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 30 gru 2009, o 01:11

Jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu, to podany wielomian dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ (x-m)^2}\). Wykonaj dzielenie i przyrównaj resztę do zera. Z tego oblicz postać \(\displaystyle{ m}\) (w zależności od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)) i skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ m}\) to pierwiastek (podstaw do wielomianu).

Pozdrawiam.

kata189 · Post autor: **kata189** » 30 gru 2009, o 15:59

cóż, nie wychodzi mi to jakoś ;/

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 30 gru 2009, o 16:02

Pokaż obliczenia to Ci powiem, co jest nie tak.

Pozdrawiam.

kata189 · Post autor: **kata189** » 30 gru 2009, o 16:07

dziele przez m i przyrównuję reszty
\(\displaystyle{ a + 3m ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ b - 2m ^{3} = 0}\)
co powinnam dalej zrobić ?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 30 gru 2009, o 16:15

Obliczyć z tego układu \(\displaystyle{ m}\) (będzie zależało od \(\displaystyle{ a, b}\)). A jak już obliczysz, to skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ m}\) jest pierwiastkiem wyjściowego wielomianu.

Pozdrawiam.

ewusia · Post autor: **ewusia** » 31 gru 2009, o 13:00

Prościej będzie wyznaczyć z tego układu \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a potem obliczyć
\(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b ^{2}}\)

smigol · Post autor: **smigol** » 31 gru 2009, o 13:29

ewusia pisze:Prościej będzie wyznaczyć z tego układu \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a potem obliczyć
\(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b ^{2}}\)

Jeszcze prościej policzyć pochodną.

ewusia · Post autor: **ewusia** » 3 sty 2010, o 18:56

smigol pisze:
ewusia pisze:Prościej będzie wyznaczyć z tego układu \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a potem obliczyć
\(\displaystyle{ 4a^{3} + 27b ^{2}}\)
Jeszcze prościej policzyć pochodną.

Nie miałam jeszcze pochodnych i nie bardzo wiem o co ci chodzi.

Fredi · Post autor: **Fredi** » 4 sty 2010, o 18:53

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1108.pdf

jest dość dobrze opisany sposób z pochodną w podrozdziale 9. Ogólnie chodzi o to, że np. jeśli pierwiastek jest dwukrotny to jest pierwiastkiem danego wielomianu i jego pochodnej, jeśli jest pierwiastkiem trzykrotnym to jest pierwiastkiem danego wielomianu, jego pierwszej pochodnej i pochodnej tej pochodnej, itd. analogicznie.
Pozdrawiam

pawelsuz · Post autor: **pawelsuz** » 5 sty 2010, o 22:22

Co to za książka?

Fredi · Post autor: **Fredi** » 5 sty 2010, o 22:58

Zasady algebry wyższej
Wacław Sierpiński
Warszawa-Wrocław 1946

jest cała jej treść
Na tym portalu w ogóle można czasami znaleźć całkiem ciekawe rzeczy

Tux · Post autor: **Tux** » 9 lut 2010, o 23:29

Tak z ciekawości, mógłby ktoś przedstawić dzielenie tego wielomianu przez \(\displaystyle{ (m-2)^{2}}\)