pierwiastki wielomianu

michas-__ · Post autor: **michas-__** » 28 gru 2009, o 22:28

Jak znaleźć pierwiastki takiego wielomianu:

\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 4x + 5}\)

?

natkoza · Post autor: **natkoza** » 28 gru 2009, o 22:31

to cudo nie ma pierwiastków w "ładnej" postaci. Czy napewno wszystko dobrze przepisałeś?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 gru 2009, o 22:32

Trzeba się zastanowić jak wykazać, że nie ma.

michas-__ · Post autor: **michas-__** » 28 gru 2009, o 22:38

wyszedł mi taki wynik, kiedy rozwiązywałem pewne równanie metodą dzielenia go przez kolejne pierwiastki (x - a) i ładnie się zmniejszał stopień wielomianu aż do tego momentu

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 gru 2009, o 22:41

W skrócie.
Policz \(\displaystyle{ W'(x)}\) poszukaj ekstremów - jest jedno minimum dla x =-1 (wartość dodatnia) - wielomian nie ma miejsc zerowych.

michas-__ · Post autor: **michas-__** » 29 gru 2009, o 19:23

Czyli to będzie \(\displaystyle{ W'(x) = 4x^{3} + 6x^{2} + 6x + 4}\) ?-- 29 gru 2009, o 19:30 --Dobra załóżmy, że tak, to teraz przyrównałem tę pochodną do 0 i wyszło x = -1. Skąd teraz wynika to

piasek101 pisze: x =-1 (wartość dodatnia) - wielomian nie ma miejsc zerowych.

?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 gru 2009, o 22:04

\(\displaystyle{ W'(x)<0}\) dla \(\displaystyle{ x<-1}\)

\(\displaystyle{ W'(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x>-1}\)

wniosek - dla x =-1 wielomian W(x) ma minimum ; sprawdzamy W(-1) skoro jest >0 (wszystkie więc jego wartości są >0, bo są większe od minimum) to wielomian nie ma miejsc zerowych.

michas-__ · Post autor: **michas-__** » 29 gru 2009, o 22:33

okej, rozumiem. czyli, jeśli w rozkładzie większego wielomianu pojawia mi się ten, to już dalej nie mogę z tym nic zrobić, bo tutaj nie ma pierwiastków?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 gru 2009, o 22:38

Jeśli miałeś wyznaczyć pierwiastki to skończone (bo ich nie ma).

Ale jeśli chcieli aby go rozłożyć na czynniki to taki czwartego stopnia da się rozłożyć (na razie oprócz skorzystania ze wzorów nie widzę jak).

michas-__ · Post autor: **michas-__** » 29 gru 2009, o 22:43

tzn doszedłem do takiego momentu w rozwiązywaniu:

\(\displaystyle{ (x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 4x + 5)(x - 1)^{2} > 0}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 gru 2009, o 22:45

Rozwiązanie nierówności masz ?

Post autor: **Dasio11** » 29 gru 2009, o 22:50

Tożsamość w takim razie

michas-__ · Post autor: **michas-__** » 29 gru 2009, o 22:56

tak, rozwiazanie nierówności.
Dasio11 rozwiń swój pomysł jakbyś mógł

natkoza · Post autor: **natkoza** » 29 gru 2009, o 22:59

Dasio11, miał na myśli to, ze ta nierówność jest prawdziwa (prawie) zawsze.. tzn zawsze oprócz \(\displaystyle{ x=1}\) gdzie to wyrażenie jest równe 0
rozwiązaniem tej nierówności jest \(\displaystyle{ R\backslash \{0\}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 29 gru 2009, o 22:59

Dasio11 pisze:Tożsamość w takim razie

Nie.